Экономические науки/8.Математические методы в экономике.
К.ф.-м.н. Зайцева И.В.
ФГОУ ВПО «Ставропольский
государственный аграрный университет», Россия
Анализ
устойчивости регионального рынка труда методами математического моделирования
В работах [1, 2] приведена и исследована
модель рынка труда для нескольких отраслей экономики. Для придания ей практического
характера в настоящей работе предлагается учитывать половозрастную и
образовательную структуру трудовых ресурсов каждой отрасли. Высказанное соображение
привело к формированию следующей модели:
(1)
В модели (1) приняты следующие
обозначения: 
часть специалистов,
занятых в 
й отрасли, которые по возрастному и образовательному цензу
соответствуют уровню с номером 
; 
часть трудовых
ресурсов уровня 
, которые могут использоваться в 
й отрасли, но в данное время безработны; 
вероятность того, что
безработный специалист 
й отрасли уровня 
найдет работу в
отрасли 
в интервале времени 
; 
вероятность увольнения
работника того же уровня отрасли с номером 
в то же время. Уровни
– это номера квадратов таблицы 1.
Таблица 1 – Возрастная и образовательная структура
рынка труда одной отрасли
|
- |
1)В.п.о., 20-24 года |
2)В.п.о., 25-29 лет |
3)В.п.о., 30-49 лет |
4)В.п.о., 50-54 года |
5)В.п.о., 55-59 лет |
6)В.п.о., 60-72 года |
|
7)Н.в.о., 15-19 лет |
8)Н.в.о., 20-24 года |
9)Н.в.о., 25-29 лет |
10)Н.в.о., 30-49 лет |
11)Н.в.о., 50-54 года |
12)Н.в.о., 55-59 лет |
13)Н.в.о., 60-72 года |
|
14)С.п.о., 15-19 лет |
15)С.п.о., 20-24 года |
16)С.п.о., 25-29 лет |
17)С.п.о., 30-49 лет |
18)С.п.о., 50-54 года |
19)С.п.о., 55-59 лет |
20)С.п.о., 60-72 года |
|
21)П.о., 15-19 лет |
22)П.о., 20-24 года |
23)П.о., 25-29 лет |
24)П.о., 30-49 лет |
25)П.о., 50-54 года |
26)П.о., 55-59 лет |
27)П.о., 60-72 года |
|
28)О.о., 15-19 лет |
29)О.о., 20-24 года |
30)О.о., 25-29 лет |
31)О.о., 30-49 лет |
32)О.о., 50-54 года |
33)О.о., 55-59 лет |
34)О.о., 60-72 года |
|
35)Н.о., 15-19 лет |
36)Н.о., 20-24 года |
37)Н.о., 25-29 лет |
38)Н.о., 30-49 лет |
39)Н.о., 50-54 года |
40)Н.о., 55-59 лет |
41)Н.о., 60-72 года |
В таблице 1 применены
следующие обозначения: В.п.о. – высшее профессиональное образование, Н.в.о. –
неоконченное высшее образование, С.п.о. – среднее профессиональное образование,
П.о. – полное общее образование, О.о. – основное общее образование, Н.о. – не
имеет основного общего образования. Таким образом, чтобы более точно описать
рынок труда, необходимо, как минимум, записать столько систем вида (1), сколько
клеток представлено в табл. 1 за минусом верхней левой, то есть 41 систему,
таким образом в представленной детализации рынок содержит 41 сегмент.
Система (1) линейна,
представлена в нормальной форме Коши, и для одной клетки табл.1 в матричном
виде записывается как
(2)
Это сводит задачу анализа ее устойчивости
к расчету спектра собственных значений матрицы состояния 
. Весьма важным является факт того, чтобы рынок труда не просто сохранял устойчивость своего
некоторого состояния, а обладал бы устойчивостью функционирования, то есть
устойчивостью при вариации параметров – вероятностей трудоустроиться или
потерять работу.
При решении задач устойчивости функционирования и управляемости
динамическими свойствами исследуемого рынка важное значение приобретает
зависимость собственных чисел 
от различных
вероятностей 
и 
матрицы системы (2).
Она характеризуется функцией чувствительности 
от 
и 
, которая может быть выражена через собственные векторы 
и 
матрицы 
и 
, где 
знак транспонирования. Известные алгебраические
преобразования позволяют для компонент вектора трудовых ресурсов 
получить выражение
(3)
где 
- компоненты с номером 
собственного вектора 
, 
размерность матрицы 
, 
определяется вектором
начальных значений занятости 
и собственными
векторами 
матрицы 
.
Формула (3) позволяет сделать выводы о наблюдаемости отдельных
составляющих движения 
в 
. Например, если компонента 
=0, то составляющая 
вообще не наблюдается
в 
– в динамике
занятости в 
-й отрасли. Для ненулевых 
частное
(4)
определяет, во
сколько раз составляющая движения, определяемая экспонентой 
заметнее в отрасли 
по сравнению с
отраслью с номером 
. Крайне существенно, что соотношение амплитуд (4) не зависит
от начальных условий, определяется только вектором 
и является внутренним
свойством системы (2). Это позволяет ставить задачу исследования «собственных динамических
свойств» рынка труда. Соотношение (4) позволяет оценить системные свойства
составляющей 
в зависимости от того,
в каком числе отраслей хозяйства они проявляются заметным образом. Задавая
некоторое пороговое значение 
для частных 
и полагая, что 
- максимальная по модулю компонента вектора 
из заданного числа
сравниваемых, определим, что если количество частных (4), удовлетворяющих
неравенству
(5)
невелико, то
составляющая 
носит в динамике
рынка локальный характер. С ростом количества 
, удовлетворяющих неравенству (5), системный характер
экспоненты 
и ее значимость для
исследуемого рынка в целом возрастают.
Наблюдаемость составляющей движения 
в векторе занятости 
отрасли с номером 
вычисляется по
следующему выражению
, (6)
где 
- максимальная
компонента собственного вектора.
Абсолютные значения частных (6) образуют вектор коэффициентов
наблюдаемости
в котором
максимальная компонента 
имеет значение,
равное 1. Значения амплитуд данной составляющей в других отраслях 
относительно
максимальной определяются соответствующими компонентами вектора 
.
Для оценки системных свойств составляющей 
наряду с коэффициентами
наблюдаемости можно предложить для использования и другую численную
характеристику, которая называется показателем наблюдаемости 
. Определяется она ее следующим образом:
, (7)
где 
- полное число отраслей экономики в рассматриваемой модели, 
- число отраслей, удовлетворяющих условию
для некоторого
фиксированного 
. Экономический смысл показателя наблюдаемости очевиден
― это доля отраслей народного хозяйства от их общего числа в динамической
модели рынка труда, которые участвуют в составляющей 
с относительной
амплитудой, превышающей 
.
Чувствительность собственных значений к вариации элементов матрицы
определяется по выражению
. (8)
Связь между коэффициентами чувствительности 
от 
и собственными
векторами 
и 
в частном случае,
когда в роли 
выступает элемент
матрицы 
и векторы нормированы
на единицу, принимает еще более простой вид
. (9)
В качестве расчетной модели нами была принята 21-отраслевая модель
рынка труда Ставропольского края и приведена возрастная группа от 30 до 49 лет
как с самой многочисленной и экономически активной. Зная распределение
численности занятого населения по отраслям экономики (из Статистических сборников
«Труд и занятость в Ставропольском крае»), а также распределение безработных и
данные о текучести кадров, можно определить интересующие нас вероятности
увольнения и приема на работу, входящие в систему уравнений (2).
Для анализа параметрической
устойчивости модели рынка труда элементы матрицы 
варьировались в
пределах до 
20% своей первоначальной величины. Анализ этих данных
позволяет видеть, что задача обеспечения статической устойчивости рынка труда
может успешно решаться соответствующей вариацией вероятностей трудоустройства. Сказанное
выше приводит к необходимости постановки и решения задачи управления
динамическими свойствами рынка труда для обеспечения устойчивости его
функционирования в требуемом диапазоне изменения параметров модели, что требует
выбора вектора «настраиваемых» параметров модели по коэффициентам
чувствительности.
Таким образом, в настоящей работе
предложен вариант решения важной социально-экономической задачи, связанной с
анализом динамических свойств рынка труда и обеспечением его устойчивого
функционирования за счет нового методического подхода к управлению, адекватного
системным свойствам рынка. Рынок формализуется в виде модели самоорганизации,
представляющей собой систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений,
записанных в нормальной форме Коши. Решение базируется на предложенном математическом
аппарате современной теории систем и системного анализа, используемом для анализа
и управления динамическими свойствами, представленными в модели рынка.
Литература: