Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения

Демьянков Н. А.

ЯрГУ им. П. Г. Демидова, Россия

О двух методах решения периодической краевой задачи

В докладе представлены две теоремы о сходимости численных методов решения периодической краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений в дивергентной форме.

1. Метод Галёркина для периодической краевой задачи. Пусть - арифметическое линейное пространство размерности , , , , . Обозначим через совокупность непрерывных по совокупности переменных отображений , удовлетворяющих условиям: 1) для любых из отображение строго монотонно; 2) имеют место неравенства: , , в которых , положительные постоянные - могут зависеть от , - скалярное произведение элементов и из , - евклидова норма в пространстве . Через обозначается совокупность непрерывных по совокупности переменных отображений , удовлетворяющих оценке , в которой , числа могут зависеть от .

Далее - замыкание в метрике, порождаемой нормой множества бесконечно дифференцируемых и - периодических функций . Определённое таким образом пространство рефлексивно и сепарабельно. Если - два непустых подмножества пространства , то число называют уклонением множества от множества . Ниже - открытый шар положительного радиуса , - сфера радиуса , ограничивающая шар . Сопряжённое к пространство также рефлексивно и сепарабельно.

Пусть , . Сопоставим элементу из пространства линейный функционал , допускающий представление , где , соответственно. Определение отображения можно записать в виде равенства

понимаемого в смысле теории распределений. Как нетрудно видеть, отображение ограничено. Можно показать, что отображение удовлетворяет условию , введённому в [1].

Приведём условие сходимости метода Галёркина для периодической краевой задачи

Под её решением понимается элемент из , для которого .

Последовательность конечномерных подпространств пространства назовём полной в пространстве , если при для любого элемента из . Элемент из назовём приближением Галёркина к решению задачи , если . Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть отображения принадлежат классам соответственно, отображение определено равенством . Пусть - ограниченное открытое подмножество пространства и . Пусть отображение удовлетворяет условию острого угла

Тогда: 1) множество принадлежащих решений задачи непусто; 2) для любой полной в пространстве последовательности конечномерных подпространств непусто множество принадлежащих приближений Галёркина, и справедливо равенство

Доказательство теоремы основано на теории операторов монотонного типа (см., например, [1]). Соотношение (4) означает, что при больших приближения Галёркина близки к решениям исходной периодической краевой задачи.

2. Метод ломаных. Пусть - натуральное число; , , , . Обозначим через подпространство пространства , состоящее из функций , сужения которых на любой отрезок суть линейные функции. Очевидно, что - конечномерное подпространство , и последовательность полна в пространстве .

Обозначим через индикатор промежутка . Введём в рассмотрение линейный оператор и скалярную функцию , полагая , . При справедливы равенства

,

Функцию из назовём конечномерным приближением к решению задачи (2), если справедливы соотношения , в которых , ; для единообразия принято, что . Приведённая трактовка конечномерного приближения несущественным образом отличается от приведённой в [2].

Теорема 2. Пусть отображения принадлежат классам соответственно, отображение определено равенством . Пусть при некотором положительном выполнены условия:

, .

Тогда: 1) множество принадлежащих шару решений задачи непусто; 2) при достаточно больших непусто множество принадлежащих конечноразностных приближений задачи , и справедливо равенство .

Основу доказательства теоремы 2 составляет теория вращения векторных полей, порождаемых операторами монотонного типа [1]. Используя эту теорию в полном объёме, можно заменить условия и более общими предположениями. Условие непрерывности отображений также можно ослабить, заменив его подходящим условием Каратеодори. Не является принципиальным выбор типа краевых условий; аналогичные теоремам 1, 2 утверждения сохраняются для широкого класса краевых задач.

Литература:

1. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М., 1990.

2. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М., 1973.