Ученица 8 класса Кабанова Е. В.,

учитель математики высшей квалификационной категории Шарова С. Г.

Муниципальное образовательное учреждение гимназия г. Урюпинск, Россия

Числа Фибоначчи

Около 1200 года н.э. человек по имени Леонардо Пизанский, более известный как Фибоначчи, открыл последовательность чисел, которые представляют собой крайне интересную систему, последовательность имеет вид: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… и так до бесконечности.

Каждое следующее число последовательности получается путем суммирования двух предыдущих: 0 + 1 = 1; 1 + 1 = 2…

Прямоугольник со сторонами, равными двум соседним числам последовательности, представляет собой так называемый золотой прямоугольник. Этот прямоугольник можно разбить на более мелкие с размерами, соответствующими соседним числам Фибоначчи. Если мы возьмем такой прямоугольник и разделим его на более мелкие в соответствии с последовательностью Фибоначчи и разделим каждый из них дугой, то система начнет приобретать некоторую форму, мы увидим так называемую спираль Фибоначчи.

Сама спираль не представляет ничего интересного. Важно то, где мы можем ее увидеть. Возьмем, к примеру, подсолнух. Расположение его семечек представляет собой идеальную последовательность спиралей – последовательность Фибоначчи. Когда волны прилива движутся к берегу, то они изгибаются в форме спирали, которую математически можно отразить на графике с точками: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и 55.

Ветви деревьев, ракушки, тюльпаны, морские звезды, а особенно раковины моллюсков сформированы по той же самой схеме. С каждым приростом раковина добавляет по одному сегменту в соответствии с масштабом Фибоначчи. Эта схема может быть замечена нами и в нашей повседневной жизни (фаланги пальцев). Но самый потрясающий пример находится прямо над нашей головой. На расстоянии приблизительно 100000 световых лет даже спирали галактики образованы абсолютно по тому же принципу, что и та маленькая раковина.

Цель работы: изучить свойства чисел Фибоначчи и их практическое значение.

Задачи:

1. Дать характеристику чисел Фибоначчи.

2. Проверить на практике свойства чисел Фибоначчи.

3. Показать связь математической теории и окружающего мира.

Свойства чисел ряда Фибоначчи

Обнаружено много интересных соотношений между числами ряда Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

1) Принцип образования членов этого ряда приводит к следующему соотношению между любыми его тремя рядом стоящими членами

S_n = S_n-1 + S_n-2.

2) Интересно было бы уметь сразу получить любой член ряда S_n, зная лишь номер n его места. Оказывается, это вполне возможно, но здесь мы столкнемся с одной из удивительных неожиданностей, которые нередки в математике. Любой член ряда Фибоначчи – это целое число, номер места – тоже число целое. Естественно было бы ожидать, что любой член ряда S_n получается в зависимости от номера и занимаемого им места при помощи действий только над целыми числами. Но это не так. Не только целые числа, но даже все целые и дробные (рациональные) бессильны образовать интересующую нас формулу. Из затруднительного положения помогают выйти два иррациональных числа:

и

Если n – номер места, то любой член S_n ряда Фибоначчи можно получить по формуле:

3) Очень забавный вид у формулы для суммы n членов ряда Фибоначчи:

S₁ + S₂ + ... + S_n = S_n+2 - 1

Сумма n первых членов ряда Фибоначчи на 1 меньше (n+2)-го члена того же ряда.

4) Сумма квадратов же чисел ряда Фибоначчи выражается через произведение двух соседних членов того же ряда:

S₁² + S₂² + ... + S_n² = S_n· S_n+1

5) Квадрат каждого члена ряда Фибоначчи, уменьшенный на произведение предшествующего и последующего членов, дает попеременно то +1, то – 1.

S_n² - S_n-1· S_n+1 = (-1)ⁿ⁺¹.

6) Замечено, что в ряду Фибоначчи каждое третье число – четное, каждое четвертое делится на 3, каждое пятое – на 5, каждое пятнадцатое – на 10.

7) Невозможно построить треугольник, сторонами которого являются числа ряда Фибоначчи.

8) Если взять любые четыре последовательных числа ряда Фибоначчи и рассматривать произведение крайних членов и удвоенное произведение средних как длины катетов прямоугольного треугольника, то длиной его гипотенузы будет один из членов этого ряда:

(a_n· a_n+3)² + (2a_n+1· a_n+2)² = a²_2n+3.

Из этих свойств вытекают многочисленные следствия,

одно из самых главных выражается следующим образом:

1. Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0.618 по увеличению порядкового номера. Отношение же каждого числа к предыдущему стремится к 1.618 (обратному к 0.618).

2. При делении каждого числа на следующее за ним через одно получаем число 0.382; наоборот – соответственно 2.618.

3. Подбирая, таким образом, соотношения, получаем основной набор фибоначчиевых коэффициентов: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236, упомянем также 0.5 (1/2). Все они играют особую роль в природе, и, в частности, в техническом анализе.

Важно отметить, что Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи. Рассмотрим Задачу про кроликов, которую Фибоначчи поместил в книге абака.

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения.

Ясно, что если считать первую пару кроликов новорожденными, то на второй месяц мы будем по прежнему иметь одну пару; на 3-й месяц- 1 + 1 = 2; на 4-й – 2 + 1 = 3 пары (ибо из двух имеющихся пар потомство дает лишь одна пара); на 5-й месяц – 3 + 2 = 5 пар (лишь две родившиеся на 3-й месяц пары дадут потомство на 5-й месяц); на 6-й месяц – 5 + 3 = 8 пар (ибо потомство дадут только те пары, которые родились на 4-м месяце) и т. д.

Таким образом, если обозначить число пар кроликов, имеющихся на n-м месяце через Fk , то F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13, F8 = 21 и т. д., причем образование этих чисел регулируется общим законом:

Fn=Fn-1+Fn-2, при всех n > 2.

В элементарной математике существует много задач, часто трудных и интересных, которые не связаны с чьим-либо именем, а скорее носят характер своего рода «математического фольклора». Эти задачи нередко имеют хождение в нескольких вариантах; иногда несколько таких задач объединяют в одну, более сложную; иногда, наоборот, одна задача распадается на несколько более простых; словом, часто, оказывается, трудно различить, где кончается одна задача и начинается другая. Правильнее всего было бы считать, что в каждой из таких задач мы имеем дело с маленькими математическими теориями, имеющими свою историю, свою проблематику и свои методы – все это, разумеется, тесно связано с историей, проблематикой и методами «большой математики».

Такой теорией являются и теория чисел Фибоначчи. Выросшие из знаменитой «задаче о кроликах», имеющей более семисотлетнюю давность, числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики.

Научная мысль не стоит на месте, и поэтому следует ожидать появления новых закономерностей, связанных с изучением чисел Фибоначчи, которые смогут существенно повлияют на ход развития науки в изучении живой природы.

Литература

1. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. М., 1969.

2. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. М., 1936.

3. Шевелев И. Ш., Марутаев М. А., Шмелев И. П. Золотое сечение / Три взгляда на природу гармонии. М., 1990.