УДК 533.951
резонансное взаимодействие электронов
с витслеровской волной
А. И. Матвеев
Южный федеральный университет, технологический
институт,
г. Таганрог, Россия
С помощью гамильтоновых уравнений описано
резонансное взаимодействие электронов с витслеровской волной. Установлено, что
существует система отсчета, в которой гамильтониан является функцией только
продольной координаты. Показано, что электроны резонансно взаимодействуя с
волной, захватываются в ее потенциальные ямы, вследствие чего их размах фазовых
колебаний становится ограниченным.
Рассмотрим
движение электрона в поле витслеровксой волны конечной амплитуды с частотой,
большей циклотронной частоты 
,
которая распространяется вдоль магнитного поля, направленного по оси z. Направление вращения
векторного потенциала
,
, 
(1)
совпадает с
направлением вращения электрона в магнитном поле, то есть волна является
необыкновенной. Фазовая скорость и амплитуда волны очень медленно изменяются
вдоль оси z. Далее используем форму
записи, в которой длины обезразмерены делением на 
, 
- на начальная фазовая
скорость, фазовая скорость u
и скорость электронов 
на - 
, импульс 
электронов - на 
, их энергия и температура T - на 
, концентрация электронов N - на 
, векторный потенциал 
- на 
, напряженность электрического поля 
- на 
, индукция магнитного поля 
- на 
, m,
е - масса и заряд электрона.
Уравнения
движения электронов в поле потенциалов (1) с продольным магнитным полем 
запишем в виде
, 
, (2)
где 
– проекция импульса
электрона на ось z, 
,
– поперечные составляющие импульса и
векторного потенциала, 
– поперечная скорость
электрона. Полагая 
,
для уравнений (2) в пренебрежении медленной зависимостью от z получим
, 
, (3)
где 
– угол между векторами 
и 
,
.
Если 
,
,
то для 
верно уравнение
, (4)
где 
. Следуя [1], запишем (4) и первое уравнение (3) в
гамильтоновой форме
,
(5)
с
гамильтонианом
, (6)
где 
,
,
Y – интеграл движения. Поделив
гамильтониан (6) на 
,
можно представить его в форме обратного преобразования Лоренца из системы
отсчета, движущейся с групповой скоростью волны 
в лабораторную систему отсчета. В системе
отсчета, движущейся с групповой скоростью волны у гамильтониана нет потенциальных
ям, так как в этой системе отсчета он зависит только от времени 
,
где 
.
Поэтому гамильтониан в форме (6) непригоден для описания резонансного взаимодействия
электронов с волной. Чтобы такое описание было возможным, необходимо этот
гамильтониан преобразовать так, чтобы он зависел только от продольной
координаты. Так как черенковский резонанс электронов с витслеровской волной
возникает на скорости 
,
то удобно перейти в систему отсчета, движущуюся с этой скоростью. Исключив 
в (6) с помощью формулы 
,
найдем полную энергию электрона в
системе отсчета, движущейся со скоростью, равной 
:
, (7)
где 
,
,
,
.
В
приближении 
потенциальная энергия 
,
входящая в (7), по форме ничем не отличается от потенциальной энергии электрона
в поле ленгмюровской волны. Поэтому из (7) легко определим продольную скорость
электрона
. (8)
У электронов
с энергией 
диапазон изменения угла 
неограничен,
такие электроны являются пролетными. Если их продольная скорость заключена в
интервале
,
то они
захватываются в потенциальные ямы волны. Диапазон изменения угла 
этих электронов
становится ограниченным 
.
ЛИТЕРАТУРА
1. Krasovsky V.L.
// Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. 2007. V. 69. P. 969.
2. Матвеев А.И. // Физика плазмы. 2009.
Т. 35. Вып. 3. С. 1.
3.
Заславский
Г.М., Сагдеев
Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988. С. 13.