Физика/оптика

Александр Миланич ^1,2

¹ Институт Общей Физики им. А.М. Прохорова РАН (ИОФ РАН),

² Московский Физико-Технический Институт (МФТИ),

Понятие Квантового Предела в Оптике

Введение. Согласно классическим представлениям предельное разрешение любого оптического прибора определяется исключительно дифракцией (дифракционный предел). Не вдаваясь в особенности атомно-силовой и плазмонной микроскопии, и ограничившись оптической микроскопией, можно утверждать, что минимальные экспериментально наблюдаемые объекты по размерам близки к длине волны излучения, что хорошо согласуется с практикой и теорией. Но в последнее время появляются многочисленные статьи о «суперлинзах» [1], о преодолении дифракционного предела и т.д. [2, 3] и т.п. Невольно возникает вопрос: «Что это за предел, который можно преодолеть?» В данной работе проанализированы существующие ограничения на предельное разрешение в оптике.

Дифракционный предел. В классической оптике ограничителем (в форме критерия Рэлея) для предельного разрешения микрообъектов выступает дифракция, а в квантовой механике принцип неопределенности Гейзенберга. В оптике размер дифракционного пятна в фокальной плоскости определяется длинной волны, апертурой и фокусным расстоянием системы. Для сферической линзы радиус кружка Эйри Δx = 0.61λF/D, где λ - длина волны, D - диаметр линзы, а F– ее фокусное расстояние. Следовательно, при стремлении фокусного расстояния F к нулю (при неизменных прочих параметрах) размер пятна в фокальной плоскости также стремится к нулю, что означает отсутствие ограничения на минимально различимый размер! Но отсутствие ограничений на минимальный размер противоречит базовым принципам квантовой механики и требует разъяснения! Для линзы невозможность визуализации сколь угодно малых объектов объясняют тем, что в видимой области спектра невозможно изготовить линзу с относительным отверстием a = D/F больше 1, что соответствует диаметру кружка Эйри около λ. Но современная голографическая оптика не имеет таких ограничений и позволяет изготовить голографические фокусирующие элементы с достаточно большими значениями относительного отверстия (10 и более), поэтому требуется другой подход к данной проблеме.

Квантовый Предел. Понятие квантово-механического предела разрешения в оптике было предложено в [4] и обсуждалось в [5]. Определим квантово-механический предел, как среднеквадратичное отклонение распределения излучения по координате в точке фокусировки оптической системы. Это новый критерий, который никак не соотносится с критерием Релея и радиусом кружка Эйри. Рассмотрим линзу (обычную или голографическую), которая фокусирует кванты в точку и оценим распределение (по одной координате) фотонов в фокусе. Из точной формулировки принципа неопределенности Гейзенберга [6] следует:

ΔX ΔP > ħ/2 (1)

где ΔX и ΔP – среднеквадратичные отклонения координаты X и импульса фотонов P, а ħ – постоянная Планка. Среднеквадратичное отклонение Р зависит от дифракции и оптических параметров оптической системы. Наиболее существенным оптическим параметром является угол, под которым фотон попадает в фокус линзы. При фиксированном фокусе и увеличении апертуры линзы вклад дифракции уменьшается и только геометрические параметры оптики определяют распределение фотонов в фокусе. При любых углах схождения лучей в фокусе, ΔP по величине не может быть больше |Р| (абсолютная величина импульса), а все импульсы фотонов в фокусе находятся в диапазоне от –Р до +Р. Поскольку для фотона с длиной волны λ, P = 2πħ/λ то с учетом выше сказанного из (1) следует:

ΔX > λ/4π (2)

Это и есть квантовый предел разрешения. Мы видим, что никакая оптика не позволит преодолеть такой квантово-механический предел. Но из соотношения (2) также следует, что в оптике предел разрешения можно увеличить более чем в 10 раз! Но как этого достичь?

Заключение. Прежде всего, максимальное разрешение соответствует минимальному вкладу фотонов из центральной части линзы. Это связано как со значительным энергетическим вкладом из областей вблизи центра линзы, так и с существенным вкладом дифракции при небольшом ΔP фотонов из этой области. Кроме того, необходимо использовать относительные отверстия более 10 и обеспечить хорошую монохроматичность излучения.

Отметим, что представленные выводы также справедливы для электронной и ионной микроскопии, где в качестве длины волны следует взять длину волны де Бройля для электрона или иона.

Литература.

1. Fang N. et al. Science, v. 308, p. 534 (2005)

2. Либенсон М.Н. Соросовский образовательный журнал, т.6, №3, с. 99-104 (2000)

3. Kuznetsova Y., Neumann A. and Brueck S. R. J. Optics Express, v. 15 (11), p. 6651-6663 (2007)

4. Миланич А.И. Микроскоп сверхвысокого разрешения, заявка на патент РФ (2010)

5. Миланич А.И., Баранов А.А. Труды 53-й научной конференции МФТИ, ч. 2, с. 51-52 (2010)

6. Сивухин Д.В. Атомная и ядерная физика (М.: Физматлит, 2006, с. 120)