Муратбеков М.Б., Медетбекова Р. А

 

Южно-Казахстанский  государственный  университет им.М. Ауезова

 

ОБ АППРОКСИМАТИВНЫХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ  ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ

 

     Известно, что общая теория краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений в наиболее важных направлениях  считается завершенной. Весьма исчерпывающая библиография содержится в работах С.М. Никольского [1], П.И. Лизоркина и С.М. Никольского [2-3],  М.М. Смирнова [4], А.В. Бицадзе [5], М.И. Вишика и В.В. Грушина [6],  В.П.Глушко [7-8], Т.Ш.Кальменова и М. Отелбаева [9], М.Б.Муратбекова [10-11] и других авторов.

     В настоящей работе исследуется следующая задача:

,           (1.1)

                                                        (1.2)                                

                                                                                            (1.3)                                                                          

где  ,  .

     Теорема 1.1. Пусть выполнены условия:

.  Тогда для любой правой части  существует единственное сильное решение задачи (2.1)-(2.3), такое, что

(),

где С и - постоянные числа.

 

Вспомогательные оценки и неравенства.

     Существование и единственность решения задачи (1.1)-(1.3) следует из теоремы работы [10] и согласно теореме  [10] справедливо представление

                                                             (1.4)                           

     В работе  [10] также доказано следующее равенство

                                       (1.5)

где   - непрерывная функция на отрезке [0,1],

           ,             (1.6)

     Лемма 1.1.  Пусть выполнено условие . Тогда для всех   справедлива оценка

                                                                                                                   (2.7)

где С>0 – постоянное число

Лемма 1.1 доказывается как в работе [10].

     Лемма 1.2.  Пусть выполнены условия -. Тогда для всех  справедливы оценки:

 а)    ;    б)   ,                                       

где C>0 – положительные постоянные числа.

     Доказательство.  Обозначим через  следующее выражение:

      Отсюда

                                                  (1.8)                               

     В работе  [10] доказана следующая лемма:

     Лемма 1.3.  Пусть коэффициенты оператора  удовлетворяют условиям -. Тогда выполняется неравенства

                                       ,                           (1.9)                                               

где   определяется равенством :

                (1.10)          

Тут  – любое число,  удовлетворяющее неравенству

                                            (1.11)                     

где  С- любое фиксированное число, причем .

Согласно оценке   (1.8) имеем:

                                                                  (1.12)                                

Отсюда и из (1.5), (1.8) и (1.12)  следует, что 

                    (1.13)              

Пусть , тогда ,  в этом случае

                                       (1.14)                          

Из (1.13) и (1.14) получаем, что

                                                                (1.15)                                      

Точно также доказываются оценки пункта а) и б). Лемма 2.2 доказана.

     Рассмотрим оператор

Существование оператора установлено в  работе [10].

     Лемма 1.4.  Пусть выполнено условие . Тогда для каждой функции  имеет место следующая оценка:

                                                            (1.16)                              

     Доказательство.  Существование обратного оператора    следует из леммы 4 работы [10].

     Рассмотрим следующий функционал

     Отсюда,  используя свойство комплексных чисел, имеем:

                                              (1.17)                       

     Учитывая условие   из (2.17) получаем, что

                                                              (1.18)                                     

     Откуда

                                                                   (1.19)                                               

По определению нормы имеем:

                                         (1.20)                 

Лемма 1.4 доказана.

     Доказательство теоремы 1.1.  Из равенства (1.5) при     

Окончательно  получаем, что

                                                                                (1.21)                                               

где

     Из уравнения (1.1) с помощью неравенства (1.7) а), б) и (1.21) выводим следующее неравенство:

или

                                                                                       (1.22)                                           

где   . 

     Объединяя неравенства (1.7), (1.21), и (1.22) имеем, что

С>0 - фиксированное постоянное число. Далее, пользуясь теоремами вложения,  получаем полное доказательство теоремы 1.1.

 

  Список литературы

1.     Никольский С.М. Вариационная проблема для уравнения эллиптического типа вырождением на границе // Труды Мат. Ин-та АН СССР. - 1979. - Т. 150, - С.212-238.

2.     Лизоркин П.И.,  Никольский С.М.Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства решений // Доклад  АН СССР. - 1981. -Т.257. - №1. - С.42-45.

3.     Лизоркин П.И.,  Никольский С.М.Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства решений // Доклад  АН СССР. - 1981. - Т.257. - №2. - С.278-282.

4.     Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. - М.: – 1966. -С.292.

5.     Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: - 1970. – С.164.

6.     Вишик М.И., Грушин В.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений вырождающихся на границе области // Матем. сб. – 1969.  –Т.80. – №4. – С.455-491.

7.     Глушко В.П. Коэрцитивность в  общих граничных задачах для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка // Функциональный анализ и его приложения. – 1968. – С.87-88.

8.      Глушко В.П. О гладкости решений вырождающихся дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Доклад  АН СССР. –1971. – Т.148. – №1. – С.235-246.

9.     Кальменов Т.Ш., Отелбаев М. О гладкости решений одного класса вырождающихся эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения. –1977– Т.13. – № 7. – С.1244-1255.

10. Муратбеков М.Б. Коэрцитивные оценки для одного дифференциального оператора высшего порядка // Дифференциальные уравнения. –1981– Т.17. – № 5. – С.893-901.

11. Муратбеков М.Б.  О гладкости решений одного класса неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений // Известия АН Каз ССР. Сер.физ-мат. - 1981. - №5. - С.71-73.