Математика

Магистрант.Тулешова С.С.

ЮКГУ им. М. Ауезова, Казахстан

Оценка коэффициентов Фурье функции из класса Никольского с помощью тензорного произведения.

Задача приближенного вычисления интегралов важна как с теоретической, так и с прикладной точек зрения и ей посвящена обширная литература.

Пусть даны числа N и s (N,s=1,2,…), b=(b₁,…,b_n)ÎR^N, x⁽ⁿ⁾Î[0,1]^s (n=1,2,…,N) и пусть F некоторый класс непрерывных функций s переменных.

Положим Здесь интеграл понимается в смысле Римана, конечная сумма называется квадратурной формулой. На основе результатов П.Я. Ульянова [1] в работе [2] определены классы функцией 1-периодических по каждой из переменных и таких, что где , , , медленно колеблющиеся положительных функции при всех , а -тригонометрические коэффициенты Фурье функции . Шкала классов представляет собой классификацию функций в широком диапазоне от предельно малой гладкости до аналитических и их подклассов, включая известные классы Коробова [3], где и причем при всех

В дальнейшим всюду через С(...) будем обозначать некоторые положительные величины, разные, вообще говоря, в различных формулах, зависящие лишь от указанных в скобках параметров. При положительной А и любом B записи и будут означать, что . При положительного А и В запись означает . В 1957 году Н.М. Коробов [4] впервые теоретико-числовыми методами для класса построил точную в степенной шкале квадратурную формулу. Затем Н.С. Бахвалов [5] показал, что при а при s=3,4… а снизу И.Ф.Шарыгином [6] получена оценка (s=2,3…). Если для данного целочисленного вектора с неотрицательными компонентами определим множество , где - целочисленная решетка s-мерного евклидова пространства и при то для погрешности квадратурной формулы предложенных в 1962 г. Смоляком [7] для класса [2,8] имеет место

для класса - где число узлов в есть .

Пусть s-целое положительное число и r>0. Класс Никольского есть множество, составленное из всех суммируемых с периодом 1 по каждой переменной функций таких, что где - тригонометрические коэффициенты Фурье-Лебега функции […]-целая часть числа. Целью настоящей статьи является применение квадратурных формул на классе,именно, имеет место оценка

Теорема А. Пустьs=2 и r>2, , тогда где число узлов в есть .

Теорема В. Пусть s=2 и r>2, , тогда каждому по правилу поставлен вектор .Тогда

Где число узлов в квадратурной формулы .

Литература

Ульянов Т.Л. Математический сборник 1990г. 181. №5. с.589-609.

1. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М. : Физматгиз, 1963.

2. Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. МГУ. Сер. Матем… мех. 1959. №4. с.3-18.

3. Шарыгин И.Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // Ж. выч. матем. физики. 1963. т.3. с.370-376.

4. Смоляк С.А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // Докл. АН СССР. 1963. т. 148. №5. с.1042-1045.