*112785*

История/3. История науки и техники

К. физ.-мат. н. Медведева Н.Н.

Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова, Россия

Использование А. де Морганом разностных уравнений
при подсчете разбиений

Одним из важнейших направлений исследования математических дисциплин является изучение их истории, позволяющей представить основополагающие структурные части математики в развитии и взаимодействии как единого целого. Наименее исследованным с исторической точки зрения является комбинаторный анализ, в частности, одна из его ветвей – аддитивная теория разбиений. Ее главной задачей является вопрос о пересчете способов представления натурального числа суммой натуральных слагаемых. Для решения были разработаны разнообразные способы, один из которых принадлежит английскому математику Августу де Моргану (1806–1871).

В четвертом томе Кембриджского математического журнала за 1843 г. вышла статья «О новом виде разностных уравнений» («On a new species of equations of differences») [2]. Автор этой публикации не был указан. Однако Л.Ю. Диксон [1, с.115] обоснованно предполагал, что работа принадлежит Моргану. Во вступлении к ней он указал, что к новому виду разностных уравнений его привела проблема подсчета разбиений.

Для начала ученый заметил, что если не меньше , то число способов, которыми может быть представлено суммой натуральных слагаемых с их повторением, такое же, как и количество разбиений числа , где является одним из слагаемых. Он обозначил – множество способов, которыми число может быть разбито на части. Одной из них является , а другие не превышают . Морган записал, что .

Чтобы пояснить дальнейшее изложение, он обратился к примеру подсчета , то есть количеству разбиений числа 16 на части, одной из которых является 6, а остальные не превосходят 6. Он отметил, что

.

Обобщая, Морган записал

откуда

или , (*)

где (*) – разностное уравнение степени с переменной .

При помощи последнего уравнения ученый построил таблицу значений – количества разбиений числа на части, одной из которых является , а остальные не превышают (табл. 4). Очевидно, что всегда. После расстановки единиц нужно выбрать -е число -й строки и сложить его с -м числом -й строки. В результате получится -е число -й строки.

Таблица

Значения разбиений числа на части

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1
2	1	1
3	1	1	1
4	1	2	1	1
5	1	2	2	1	1
6	1	3	3	2	1	1
7	1	3	4	3	2	1	1
8	1	4	5	5	3	2	1	1
9	1	4	7	6	5	3	2	1	1
10	1	5	8	9	7	5	3	2	1	1

Из таблицы видно, что число 10 может быть представлено суммой слагаемых, одно из которых равно 4, а другие не превышают 4, девятью способами, то есть . Действительно,

4 4 2	4 3 2 1	4 2 2 1 1
4 4 1 1	4 3 1 1 1	4 2 1 1 1 1
4 3 3	4 2 2 2	4 1 1 1 1 1 1

Переписав уравнение (*) в виде и положив , Морган получил равенство . С учетом того, что , из него следует . Полный интеграл последнего уравнения после нахождения постоянных из условий , имеет вид Отсюда ученый заключил, что

Полным интегралом последнего уравнения, определяя произвольные постоянные из условий , является

где

Полученный результат Морган трактовал следующим образом: количество разбиений числа на части, не большие и не все меньшие 3, есть , , , , или в соответствии с тем, получается ли при делении на 6 в остатке 0, 1, 2, 3, 4 или 5. Результаты ученого полностью совпадают с вывденными ранее другим способом формулами Л. Эйлера.

Литература

1. Dickson, L.E. History of the theory of numbers / L.E. Dickson – Vol. II. – New York : CHELEA PUBLISHING COMPANY, 1971. – 804 P.

2. Morgan, A. On a new species of equations of differences / A. Morgan // The Cambredge mathematical Journal. – Vol. IV. – London, 1843. – Р. 87-90.