*112642*
Математика/1. дифференциальные и интегральные уравнения.
К. ф.-м. н.
Труппова В.А.
Иркутский
государственный технический университет, Россия.
Геометрия нормальной системы дифференциальных уравнений в пространстве
Минковского.
Известно
[1], что метрика в пространстве Минковского определяется формулой
.
(1)
Будем
использовать две системы координат и , причем, систему назовем абсолютной, а - относительной.
Полная
группа движений метрики (1), определяемая формулами
(2)
называется
группой Пуанкаре π [1].
Пусть формулами определяется
разложение дифференциалов векторов относительно координат , тогда формы , которые являются ее левоинвариантными формами группы
Пуанкаре, должны удовлетворять соотношениям , , .
Обычным
путем [2] получаем деривационные формулы канонического репера кривой
, , (3)
, .
В
случае пространства построенный репер
совпадает с репером Френе [1], а при определенных обозначениях с репером в
пространстве [3]. В (3) штрих означает производную по длине
дуги S.
Формулы
; (4)
вместе
с (2) определяют представление группы Пуанкаре π в пространстве . Дифференцируя (4) в
пространстве , получим структурные формы пространства
;
.
Формы , , определяются через
дифференциалы абсолютных координат
, по формулам
, ; . (5)
Пусть
в абсолютной системе координат задана система дифференциальных уравнений
второго порядка [4]
, (6)
а
также интегральная кривая . Уравнениями (6) в пространстве определяется
поверхность, которую обозначим V7.
Из
(5) следуют соотношения
,
подставляя
которые в (6), приходим к
,
где
.
Тем
самым получили уравнения поверхности V7 в репере
;
и их
первое продолжение
.
Приведем
формулы, полученные в результате фиксации репера на поверхности V7:
.
Величина
является инвариантом,
так как при то есть .
Инварианты
кривой из (3) в случае,
когда - интегральная кривая для системы (6) выражаются через
объекты поверхности V7 в каноническом репере по формулам:
,
(7)
где
(8)
.
Литература.
1.
Дубровин Б.А., Новиков
С.П., Фоменко А.Г. Современная геометрия. – М.: Наука, 1978. – 759 с.
2.
Фиников С.П. Метод
внешних форм Картана, - М. – Л.: ОГИЗ, 1948, - 432 с.
3.
Розенфельд Б.А.,
Неевклидовы пространства. – М.: Наука, 1969, - 547 с.
4.
Труппова В.А., Система
дифференциальных уравнений в пространстве одномерных касательных элементов
второго порядка. – Вестник ИрГТУ №6(46), 2010, - 295 – 298 с.