*113202*

Математика/1. Дифференциальные и интегральные уравнения

Д.ф.-м.н. Орловский Д.г.

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», Россия

Двухточечная обратная задача для эволюционного уравнения с интегрированной полугруппой

В банаховом пространстве X рассмотрим задачу Коши для абстрактного дифференциального уравнения первого порядка

Предполагается, что оператор является производящим генератором проинтегрированной невырожденной полугруппы [1], . В задаче (1) требуется найти .

_{Рассмотрим сначала свойства прямой задачи}

Лемма. Пусть функция

_{Тогда решение задачи (2) дается формулой}

Доказательство. Согласно [1] решение задачи (2) тесно связано с решением интегрального уравнения

Решением уравнения (4) является функция

а решение задачи (2) дается формулой

Дифференцируя равенство (5) с использованием формулы

Получаем равенство (3). Лемма доказана.

Перейдем к рассмотрению обратной задачи (1). Полагая находим

решение прямой задачи

Мы предполагаем, что элементы , . Из равенства (6) находим

Подставляя в дифференциальное уравнение (1) t=T, учитывая равенства (7) и u(T)=y, получаем уравнение для неизвестного элемента p

В предположении, что точка λ=T принадлежит резольвентному множеству проинтегрированной полугруппы S(T), получаем решение обратной задачи

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема. Пусть точка λ=T принадлежит резольвентному множеству оператора S(T), x∊D(A²), y∊D(A), тогда решение обратной задачи (1) существует, единственно и дается формулами

Отметим, что достаточные условия обратимости оператора S(T)–TI можно найти в работе [2].

Литература:

1. Arendt W. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problem / W. Arendt //Israel J. Math. – 1987, 59(3) – P. 327–352.

2. Greiner G. The Spectral Mapping Theorem For Integrated Semigroups/ Greiner G., Muller M.//Semigroup Forum – 1993, Vol. 47 – P. 115–122.