*112940*

Терелянский Павел Васильевич,

к.т.н., д.э.н., доцент, Волгоградский государственный технический университет,

Костикова Анастасия Владимировна,

магистр экономики.

Операции над динамическими нечеткими множествами

Авторами предлагается концепция динамических нечетких множеств. В отличие от классических нечетких множеств, представленных на плоскости кривыми первого и второго порядков, а также прерывистыми трендами, нечеткое динамическое число представляет собой непрерывную поверхность в декартовом пространстве (абсцисса – ось времени, ордината – степень принадлежности, аппликата – область определения нечеткого значения), что (для классического представления нечетких множеств) сопровождается сдвигом функции принадлежности относительно абсциссы и перерождением как самого исследуемого пространства из двумерного в трехмерное, так и самой функции принадлежности в поверхность. Ряд проведенных авторами исследований показал, что выявленная динамика нечетких множеств наблюдается во всех эволюционирующих системах. Динамическое нечеткое множество может быть представлено в виде поверхности, а график функции принадлежности нечеткому множеству – в трехмерной системе координат, где одна из осей на графике будет фиксировать его изменение во времени. Рассмотрим поле операции над нечеткими динамическими числами. Определим два простейших обычных отношения, которые могут иметь место между двумя произвольными нечеткими множествами, заданными на одном и том же универсуме . Первое из них — равенство двух нечетких множеств.

Два нечетких множества и считаются равными, если их функции принадлежности принимают равные значения на всем универсуме

= для любого (1)

Равенство множеств в данном случае записывается как = .

Для упрощения записи динамических нечетких множеств, положим что . Тогда запись (1) может быть преобразована как:

= для любого (2)

Следующим простейшим отношением является понятие нечеткого подмножества (или нечеткого доминирования) произвольных нечетких множеств. Нечеткое множество является нечетким подмножеством нечеткого множества тогда и только тогда, когда значения функции принадлежности первого не превосходят соответствующих значений функций принадлежности второго, т.е. выполняется условие: ≤ для любого (3)

Для обозначения нечеткого подмножества используется символ “ ”. При этом в случае ,говорят, что нечеткое множество доминирует нечеткое множество , а нечеткое множество содержится в нечетком множестве . Операции пересечения, объединения и дополнения динамических нечетких множеств. Пусть множество задано функцией , а множество задано функцией , тогда пересечением нечетких множеств и из называют нечеткое множество вида:

(4)

где

В результате операции пересечения множеств получаем динамическое нечеткое множество с функцией принадлежности , которое содержит только те элементы, которые принадлежат обоим множествам и . Результат операции пересечения двух и большего числа динамических нечетких множеств, заданных на одном и том же универсуме , также можно изобразить графически в декартовой системе координат в трехмерном пространстве. Этот способ особенно удобен для визуализации операций с бесконечными нечеткими множествами. В данном случае каждое из нечетких множеств изображается соответствующей функцией принадлежности, а функция принадлежности результата операции пересечения изображается утолщенной линией. Для дополнительной наглядности область, расположенная ниже значений результирующей функции принадлежности, изображается крупной сеткой (рис. 1, а).

Аналогично тому, как две поверхности пересекаются по линии (совокупности линий), динамические нечеткие множества и .имеют общую линию пересечения, которая одновременно принадлежит каждому из них. В зависимости от типа нечетких чисел и их взаимного положения линия пересечения может быть прямой или ломанной.

а б

Рис. 1 Графическое представление операции пересечения двух нечетких множеств и

Линия пересечения двух динамических нечетких множеств и (рис. 1, б) является прямой линией L и, следовательно, определяется двумя точками М и N, одновременно принадлежащими обеим плоскостям. Для того чтобы определить координаты точек необходимо опустить перпендикуляры на три оси . Уравнение прямой может быть найдено исходя из координат известных точек, лежащих на ней. Пусть прямая L проходит через точки M ( ) N ( ). Уравнения прямой, проходящей через точку M, имеет вид (3), где k —неизвестный коэффициент. Так как прямая проходит через точку N ( ), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (3) (4). Οтсюда находим . Подставляя найденное значение k в уравнение (3), получим  уравнение прямой, проходящей через точки M и N (5). Построенные динамические функции принадлежности = представляют собой множество точек, определяющих изменение степеней принадлежности нечеткому множеству в разные моменты времени.

Данные поверхности удовлетворяют общему уравнению Ах+ Ву+ Сz+ D = 0  и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0, тогда система уравнений

(6)

 описывает линию пересечения L этих плоскостей.

Координаты любой точки линии удовлетворяют обоим уравнениям поверхностей, так как эта точка одновременно лежит на обеих поверхностях.

Объединением нечетких множеств и из называют нечеткое множество вида (7) где _.

Операцию объединения нечетких множеств в смысле (7) иногда называют max-объединением или -объединением. Последнее обозначение связано с определением логической операции “ИЛИ” (неисключающего ИЛИ), которая в математической логике обозначается знаком " ". Соответственно функция принадлежности объединения в этом случае часто записывается в виде: . При этом знак " " используется в качестве синонима операции максимума. В результате объединения динамических нечетких множеств и , получается множество , которое содержит те элементы, которые принадлежат множеству или множеству   или обоим множествам Графическая интерпретация операции объединения динамических нечетких множеств представлена на рисунке 2, а.

Дополнением или отрицанием динамического нечеткого множества называют операцию, результатом которой является множество = Ø , которое содержит все элементы, которые принадлежат универсальному множеству, но не принадлежат множеству (рис.2, б) (7) Разностью двух нечетких множеств и называется некоторое третье нечеткое множество, заданное на этом же универсуме , функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:

(8), где под знаком максимума используется обычная операция арифметической разности двух чисел. Операция разности двух нечетких множеств по аналогии с обычными множествами обозначается знаком «\». В этом случае результат операции разности двух нечетких множеств можно записать в виде: .

а б

Рис. 2, а - графическое представление операции объединения двух нечетких множеств и , б - графическое представление операции дополнения нечеткого множества

Рис. 3

Графическое представление операции разности двух нечетких множеств и

Особенность рассматриваемых операций над нечеткими множествами состоит в том, что для них не выполняются закон исключенного третьего и закон тождества (свойства дополняемости операций пересечения и объединения). Динамические нечеткие подмножества некоторого универсального множества относительно операций объединения, пересечения и дополнения, определенных соотношениями (5), (7), (8) удовлетворяют классическим свойствам идемпотентности, коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.