УДК 517.946

М.П.Ленюк, В.Ц.Міхалевський

 

Моделювання процесів дифузії в неоднорідних середовищах з м’якими межами методом гібридного диференціального оператора Фур’є- Фур’є-Лежандра на полярній вісі

 

Розглянемо задачу про побудову обмеженого в області  = { (t, r): t Î (0, ¥), r Î (0, R1)  (R1, R2)  (R2, ¥) = } розв’язку сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності параболічного типу [1]

                               = f1(t, r), r Î (0, R1),                             

                             = f2(t, r), r Î (R1, R2),                              (1)

                    = f3(t, r), r Î (R2, ¥)        

за початковими умовами

                  uj(t, r)|t = 0 = gj(r), r Î (Rj – 1, Rj), j = , R0 = 0, R3 = ¥,                     (2)

крайовими умовами

                                  = w0(t),                                     (3)

та умовами спряження

                    , j, k = 1, 2.                       (4)

          У рівностях (1) – (4) беруть участь диференціальні оператори  та диференціальний оператор Лежандра L­m = d2/dr2 + cth r d/dr + 1/4 – m2/sh2r , m ³ 0 [2].

          Ми вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: cj1, k = , c11, k c21, k > 0, cj2, k = =0,  º ,   £ 0,  ³ 0, || +  ¹ 0.

          Припустимо, що задані та шукані функції є оригіналами Лапласа стосовно t [3].

          У зображенні за Лапласом параболічній задачі (1) – (4) відповідає крайова задача: побудувати обмежений на множині  розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Фур’є та Лежандра для модифікованих функцій

                           , r Î (0, R1),                          

                          , r Î (R1, R2),                              (5)

                            , r Î (R2, ¥)                                   

за крайовими умовами

                    ,                        (6)

та умовами спряження

, j, k = 1, 2.       (7)

          У рівностях (5) – (7) прийняті позначення:

, , ,

, , , ,

, .

          Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є (d2/dr2 – q2)v = 0 утворюють функції exp(qr)  та exp(–qr) або їх лінійна комбінація chqr та shqr [4]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра (Lm – q2)v = 0 утворюють приєднані функції Лежандра 1-го роду  та 2-го роду  [2].

          Наявність фундаментальної системи розв’язків дає можливість побудувати загальний розв’язок крайової задачі (5) – (7) методом функцій Коші [4, 5]:

                   ,

                  ,                      (8)

                  .                         

          У рівностях (8) беруть участь функції Коші [4, 5]:

                                                                   

                     .                        (9)

Тут j1(r) = 1, j2(r) = 1, j3(r) = sh r.

          Припустимо, що функція Коші

          Властивості (9) функції Коші дають алгебраїчну систему з двох рівнянь:

                                (C2 – C1)chq1r + (D2 – D1)shq1r = 0,                                      

                             (C2 – C1)shq1r + (D2 – D1)chq1r = –.                              (10)

          Звідси одержуємо співвідношення:

                           C2 – C1 = shq1r, D2 – D1 = - chq1r.                            (11)

          Доповнимо рівності (11) алгебраїчними рівняннями:

                               (12)

          Алгебраїчна система (12) внаслідок співвідношень (11) набуде вигляду:

                                             ,

                         .                          (13)

          У рівностях (12), (13) беруть участь функції:

, ,

,

          Із алгебраїчної системи (13) знаходимо, що

, .

          Цим функція Коші  визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r = r має структуру:

           (14)

          Припустимо, що функція Коші

          Властивості (9) функції Коші дають співвідношення:

                           C2 – C1 = shq2r, D2 – D1 = –chq2r.                            (15)

          Доповнимо співвідношення (15) алгебраїчними рівняннями:

                             (16)

          Внаслідок співвідношень (15) система (16) набуде вигляду:

                                    ,

                       .                        (17)

          Із алгебраїчної системи (17) знаходимо, що

, .

          Цим функція Коші (p, r, r) визначена й внаслідок симетрії відносно діагоналі r = r має структуру:

         (18)

, j, k = 1, 2.

          Визначимо функції [2]:

, ,

,  =

=  – , m, j, k = 1, 2.

          Безпосередньо перевіряється, що функція Коші

 ´

´                                      (19)

          Повернемося до формул (8). Крайова умова в точці r = 0 та умови спряження (7) для визначення величин Aj (j = 1, 2) та Bk (k = ) дають алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

                                         ,                                               

              ,

          ,

,                                     (20)

.

          У системі (20) беруть участь функції:

+,

+.

          Введемо до розгляду функції:

, ,

, ,  –

 = ,

A j(p) = D1j(q2R1, q2R2) – D2j(q2R1, q2R2), j = 1, 2.

Bm, j(p) =  – ,

 – ,

 +

          Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної задачі: для p = s + is з Rep = s > s0, де s0 – абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та Imp = s Î (–¥, ¥) визначник алгебраїчної системи (20) [6]

               Dm(p) º  A2(p) –  A1(p) =

                   = Bm, 1(p) – Bm, 2(p) ¹ 0.                    (21)

          Введемо до розгляду головні розв’язки  крайової задачі (5) – (7):

1) породжені крайовою умовою в точці r = 0 функції Гріна

,

, ;                (22)

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

,

,

,

, ,                          (23)

, ,    

, ,

, ;

3) породжені неоднорідністю системи (5) функції впливу

,

,

,

,                                                      (24)

,

,

          У результати однозначної розв’язності алгебраїчної системи (20) в силу умови (21), підстановки одержаних значень Aj (j = 1, 2) та Bk (k = ) у формули (8) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (5) – (7):

 +  +  +

+  + , j = .             (25)

          Повернувшись в рівностях (25) до оригіналу [3], маємо єдиний розв’язок крайової задачі дифузії тепла (1) – (4):

 +  +

+  +

+  +

+ , j = ,                      (26)

d+(t) – дельта-функція Дірака, зосереджена  в точці t = 0+ [5].

          У рівностях (26) за означенням [3]

                    , j, k = ;                      (27)

                        , j = 1, 2, 3;                          (28)

                 , m, k = 1, 2, j = .                   (29)

          Подамо формули (27) – (29) в розрахунковому вигляді.

          Особливими точками функцій (p, r, r), (p, r) та (p, r) є точки галуження p = – (j = ) та p = ¥. Метод контурного інтегралу з використанням теореми Коші та леми Жордана [3] приводять нас до „робочої” формули

            .             (30)

          Ми поклали qj = , , g 2 = max{}. Звідси  p +  = –(b 2 + ), p = –b 2 – ( + ) = –(b 2 + g 2), dp = –2b db.

          Скористаємося формулами обходу [7] при qj = ibj:

chibjr = cosb­jr, shibjr = isinb­jr,  –

–  = i[–] º ,

, ,

, ,

,

;

 º

º  º ,

 º

º .

          Безпосередньо знаходимо, що

 –

–  º –dj(b), j = 1, 2.

          Для приєднаних функцій Лежандра маємо співвідношення [2]:

,

,

,

 º

º  – ],

g m(b3) = cosmp + isin mp thpb3; .

          На підставі наведених співвідношень встановлюємо, що

Dm(epi(b 2 + g 2)) = –d2(b)[] +

+ d1(b)[] =

= [d1(b)] –

– ithpb3[d1(b)] º wm, 1(b) – ithpb3wm, 2(b).

          Введемо до розгляду функції:

, s2 = ,   

 – ],

Vm, 3(r, b) = wm, 1(b)(ch r) – wm, 2(b)(ch r), s1 = ,

Wm(b) = , s3 = .

          У результаті виконання зазначених в рівностях (30) операцій знаходимо, що

,  j, k = .          (31)

          Аналогічно одержуємо, що

Wm, 1j(t, r) = , j = ,    (32)

,                                  (33)

,                                (34)

          , k, m = 1, 2.                             (35)

          Неважко тепер переписати формули (26) з визначеними за формулами (31) – (34) головними розв’язками параболічної задачі (1) – (4).

          При відомих fj(t, r), gj(r), w0(t) та wjk(t) дифузійний процес в даному середовищі стає відомим.

 

Література

1.     Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735 с.

2.     Ленюк М.П., Шинкарик Н.И. Гибридные интегральные преобразования Лежандра. – Львов, 1989. – 60 с. (Препринт / АН УССР. Ин-т прикл. проблем механики и математики).

3.     Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.

4.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

5.     Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

6.     Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Физматгиз, 1963. – 431 с.

7.     Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: наука, 1971. – 1108 с.