Алабина Ю.Ф., Латышев А.В., Юшканов А.А.

Московский государственный областной университет

Структура электрического поля в максвелловской плазме.

Скин – эффект обусловлен откликом электронного газа (в металлической или газовой плазме) на внешнее тангенциальное к поверхности переменное электромагнитное поле [1] – [3]. Эта классическая задача изучалась и изучается в настоящее время многими авторами [4] – [9]. Основное внимание при этом уделялось вычислению поверхностного импеданса. Функция распределения электронов и электрическое поле в металле фактически ранее не изучались. Дело в том, что и метод Винера – Хопфа, и метод источника, используемые в задаче о скин – эффекте, приводят к выражению электрического поля в виде интеграла, который трудно исследовать численными методами.

В настоящей работе на основе аналитического решения показано, что структура электрического поля тесно связана со свойствами дисперсионной функции задачи, которая имеет либо четыре, либо два нуля, что зависит от величины исходных физических параметров. В работе используется метод разложения решения задачи по собственным функциям дискретного и непрерывного спектра.

Этот метод состоит в экспоненциальном выделении пространственной переменной у функции распределения и поля с соответствующими весовыми функциями. Получается характеристическая система, исключая из которой одну из весовых функций, приходят к одному уравнению, содержащему так называемую дисперсионную функцию. Ее нули образуют дискретный спектр, которому отвечают частные (дискретные) решения. Решение характеристического уравнения в пространстве обобщенных функций дает собственные решения непрерывного спектра.

Предлагаемый подход основан на разложении решения задачи по собственным решениям дискретного и непрерывного спектра. Решение, отвечающее дискретному спектру, есть сумма убывающих частных решений, которые определяются нулями дисперсионной функции, а решение, отвечающее непрерывному спектру, представляет собой интеграл по этому спектру.

Рассмотрим систему уравнений Власова-Максвелла [1]:

,

где – параметр аномальности, , , , – классическая глубина проникновения электрического поля вглубь проводника при скин – эффекте [1], – статистическая проводимость.

Граничные условия для функции распределения электронов в случае зеркального отражения электронов от поверхности имеют вид:

, ,

, .

Граничные условия для поля таковы: , .

К характеристической системе приводит разделение переменных. Функции и , называемые собственными функциями характеристической системы, определяются соотношениями:

, ,

где – дисперсионная функция [8],

, .

В настоящей работе найдено общее решение в виде разложения по собственным функциям дискретного и непрерывного спектров:

,

.

Доказательство разложения сводится к решению сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши. Последнее приводится к краевой задаче Римана теории функций комплексного переменного. Условия разрешимости и формулы Сохоцкого позволяют найти все неизвестные коэффициенты разложения решения исходной граничной задачи.

Здесь коэффициент непрерывного спектра равен:

, где .

Коэффициенты дискретного спектра равны:

, .

В данной работе построены действительная часть (рисунок 1) и мнимая часть (рисунок 2) электрического поля, отвечающие непрерывному спектру.

На этих рисунках представлен случай нормального скин – эффекта, кривые 1 отвечают параметрам и , кривые 2 отвечают параметрам и , кривые 3 отвечают параметрам и .

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Литература:

1. Силин В.П., Рухадзе А.А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред. – М.: Атомиздат, 1961.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. – М.: Наука, 1992. 532 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Физическая кинетика. – М.: Наука, 1979. 528 с.

4. Reuter G.E.H., Sondheimer E.H.. Proc. Roy. Soc. A 195, 336 (1948).

5. Dingle R.B. Physica, V 19, 311 (1953).

6. Гинзбург В.Л., Мотулевич Г.П. Оптические свойства металлов. Успехи физических наук, Т. LV, вып. 4, C. 469 (1955).

7. Платцман Ф., Вольф. П. Волны и взаимодействия в плазме твердого тела. – М.: Мир, 1975.

8. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитические решения в теории скин – эффекта. Монография, – М.: МГОУ, 2008.

9. Zimbovskaya N.A. ArXiv: physics/cond-mat/0506269.

10. Латышев А.В., Юшканов А.А. // Теор. и матем. физ. 1997. Т.116. № 2. C.305 – 320

11. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы. – М.: Высшая школа, 1988. 424 с.

12. Кейз К.М., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса. – М.: Мир, 1972. 384 с.