Вакарчук М.Б.

Днепропетровский национальный университет

О СВЯЗИ МЕЖДУ КОМПЛЕКСНОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ СПЛАЙН-АППРОКСИМАЦИЕЙ ФУНКЦИИИ В ПРОСТРАНСТВЕ СМИРНОВА И ЕЕ ВАРИАЦИЕЙ

Одним из аппаратов приближения в С являются комплексные полиномиальные и аналитические сплайны, определенные впервые Дж. Албергом, Э. Нильсоном и Дж. Уолшем [2; 3].

Пусть Г – спрямляемая жордановая кривая в комплексной плоскости С, имеющая параметрическое представление Г = {z(t) = x(t) + i y(t) : 0 ≤ t ≤ l(Г)}, где l(Г) – длина кривой, отсчитываемая от одного из ее концов. Если кривая Г – замкнутая, то в качестве точки отсчета выбирают произвольную точку на ней, считая при этом, что при возрастании t точка z(t) двигается против часовой стрелки. Полагаем z(t₁)z(t₂), если t₁<t₂ и z(t₁) z(t₂), если t₁≤t₂.

Обозначим через Θ(t) угол между некоторым фиксированным направлением и касательной к кривой Г в точке z(t). Кривую Г называют кривой Ляпунова, если функция Θ(t) удовлетворяет условию Гельдера с показателем α, 0<α≤1, то есть

,

где М – положительная константа, зависящая от Θ. Класс всех кривых Ляпунова обозначим через .

Под L_p(Г) (1≤p≤∞) понимаем пространство комплекснозначных функций f(z), заданных на кривой Г и имеющих конечную норму

Если f(z) – комплекснозначная функция, определенная на Г, то ее производной первого порядка вдоль кривой Г в точке z(t₀) называют предел

если он существует.

Функция , заданная на кривой Г, называется абсолютно непрерывной, если почти всюду на Г существует производная и для любых

,

где а − один из концов кривой Г, если кривая не замкнутая, или произвольная точка, принадлежащая Г, если кривая замкнутая. Множество всех абсолютно непрерывных на кривой Г функций обозначим символом АС(Г). Множество функций АС(Г), имеющих на Г конечную вариацию , обозначим через АСV(Г).

Пусть - последовательность односвязных областей, замыкания которых лежат внутри односвязной области G, ограниченной спрямляемой жордановой кривой Г. Границы Г_n областей G_n спрямляемы и сходятся к границе области G в том смысле, что каждая точка zG принадлежит всем G_n начиная с некоторого номера n₀. Аналитическую в области G функцию f(z) называют принадлежащей пространству Смирнова E_p(G) (p>0), если для некоторой постоянной c_p(f), не зависящей от n, имеют место неравенства

хотя бы для одной последовательности спрямляемых кривых , с указанными выше свойствами. При этом

,

где f⁺(z) (zГ) – предельные значения функции f(z)E_p(G) по всем некасательным к Г путям [1]. Всюду далее полагаем 1≤p≤∞.

Символом S(k, n, Г) обозначим множество кусочно-полиномиальных функций степени k−1 с n−1 свободными узлами, заданных на Г, т.е. s(z)S(k, n, Г), если существуют точки z_j=z(t_j) (j=0, 1,…,n; 0=t₀<t₁<…<t_n=l(Г)) и полиномы Q(z)P_k-1 такие, что s(z)=Q_j(z), для

Здесь P_k-1 – подпространство полиномов степени k–1. При этом s(z_n)=s(z(t_n−0)). Если кривая Г замкнутая, то полагаем z₀=z_n. Очевидно, что s(z)S(k,n,Г) является сплайном с дефектом k.

Пусть s(z)S(k,n,Г). Функцию S_p(z), определенную во внутренних точках контура Г интегралом типа Коши-Лебега

называют аналитическим сплайном, порожденным комплексным сплайном s(z). Множество аналитических сплайнов, порожденное множеством S(k,n,Г), обозначим символом AS_p(k,n,Г).

Теорема. Пусть G – односвязная область, ограниченная кривой , однолистная функция f(z)E_p(G)(1<p<∞) и принадлежит множеству АСV(Г) Тогда при n=1,2,… для величины наилучшего приближения f(z) множеством аналитических сплайнов AS_p(1,n,Г) имеет место неравенство

.

Литература:

1.Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. − М., 1975. − 296 с.

2.Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh J.L. Complex cubic splines // Trans. Amer. Math. Soc. − 1967. − 129. − P. 391−413.

3.Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh J.L. Properties of analitic splines // Math. Anal. Appl. − 1969. − 27. − P. 262−278.