Математика
1.
Диференціальні та інтегральні рівняння
Комарницька Л.І., Мирошниченко М.В.
Дрогобицький державний педагогічний
університет імені І.Франка
Нелокальна крайова
задача для двовимірного аналогу рівняння Соболєва
В області ,
для рівняння
,
(1)
де ,
,
,
, розглядається задача з умовами
, (2)
де ,
,
,
,
,
. На просторові змінні
,
накладаються умови
-періодичності.
Нехай (1¢) – відповідне
однорідне рівняння, (2¢) –
відповідні однорідні умови.
Розв'язок задачі (1), (2) шукається у
просторі функцій у вигляді ряду
,
де ,
- розв'язок задачі (1¢), (2),
- розв'язок задачі (1),
(2¢);
,
,
,
,
;
- простір функцій
з нормою
.
Позначимо через ,
, корені характеристичного рівняння для рівняння (1¢).
Припускається, що вони попарно різні і відмінні від нуля.
Теорема
1. Для єдиності розв'язку задачі (1), (2) в просторі необхідно і достатньо,
щоб виконувались умови:
,
,
,
,
де ;
.
При виконанні умов єдиності розв'язок
задачі (1), (2) формально зображається у вигляді ряду
, де
,
,
- визначник, отриманий
з
шляхом викреслювання
-го рядка і
-го стовпця,
- сума всеможливих
добутків коренів
взятих у кількості
штук,
.
Теорема 2. Нехай
існують додатні сталі і
,
, такі, що для всіх (крім скінченного числа) векторів
і довільного
,
, виконуються нерівності:
,
(3)
, (4)
,
.
(5)
Якщо , де
і
, де
,
, то розв'язок задачі (1), (2) в просторі
існує і неперервно
залежить від функцій
та
,
.
Доводяться теореми метричного характеру
про виконання оцінок (3)-(5).
Теорема
3. Для майже всіх (відносно міри Лебега в просторі ) векторів
і всіх векторів
(або для майже всіх векторів
і для всіх векторів
), де
і
вектори, складені
відповідно з коефіцієнтів
і
полінома
,
нерівність (3)
виконується при для всіх (крім
скінченного числа) векторів
.
Теорема
4. Для майже всіх (відносно міри Лебега в просторі ) векторів
або майже всіх
векторів
, де
,
, нерівності (4) виконуються при
для всіх векторів
таких, що
,
.
Теорема
5. Для майже всіх (відносно міри Лебега в просторі ) векторів
і для довільного
фіксованого вектора
, де
- вектор, складений з
коефіцієнтів рівняння (1), крім коефіцієнтів
і
, нерівності (5) виконуються при
для всіх
таких, що
.
Комарницька Леся
Іванівна, тел.: 8(244)39462.
Мирошниченко
Мар'яна Володимирівна, тел.: 8(244)23842.