К.т.н. Сластин Ю.В.,
Федоренко В.Е.
Харьковский национальный
технический университет сельского хозяйства
имени П. Василенка
ХНТУСХ
Линейная аппроксимация пространственных кривых,
заданных проекциями на эпюре
Монжа.
Решение задачи, рассмотренной в работе [1], начинается с линейной аппроксимации пространственного контура специального вида многоугольником. Для этого, вначале с заданной точностью линейно аппроксимируется одна из монотонных частей его проекции. Вопросу линейной аппроксимации пространственных кривых посвящена настоящая статья.
Пусть пространственная кривая задана двумя проекциями на эпюре Монжа.
Уравнения этих проекций и
.
Нам нужно аппроксимировать данную пространственную кривую ломаной так,
чтобы наибольшее расстояние между ними не превышало заданной величины между
ними .
Расстояние между кривой и прямой, параллельной одной из плоскостей
проекций, не превышает величины , если расстояние между их проекциями
подчинено условию
. (1)
Действительно, равно длине гипотенузы
прямоугольного треугольника, катетами которого являются расстояния проекций
такой прямой от проекций кривой. Тогда
,
т.е. требуемая точность аппроксимации пространственной кривой обеспечивается.
Итак, нам необходимо линейно аппроксимировать проекции кривой с точностью
.
Аппроксимацию начнем с точки А1 проекции кривой на плоскость .
Нам предстоит найти такую хорду, которая отстояла бы от кривой на
расстоянии, не превышающем , определив положение второго конца этой хорды.
Определим эту хорду как отрезок прямой, проходящей через точку А1() под углом
к оси:
.
Теперь решение задачи сводится к определению угла при котором наибольшее
отклонение хорды от кривой не превышает величины
.
Будем рассматривать хорду А1С1 как ось новой системы
координат
с центром в точке А1.
Аппроксимирующая хорда становится параллельной плоскости проекций.
Уравнение кривой в системе координат
может быть получено
заменой
;
. (2)
Пусть теперь уравнение проекции нашей кривой на плоскость имеет вид:
. (3)
Наибольшее отклонение ее от хорды равно экстремуму этой функции в системе
координат . Система уравнений для определения угла
имеет вид:
(4)
Вторым неизвестным в системе (4) является - абсцисса
экстремальной точки.
После определения угла , решив систему уравнений
, (5)
определим
точку С() пересечения найденной хорды с рассматриваемой кривой .
Принимая точку С за начальную, определим тем же способом следующую вершину аппроксимирующей ломаной.
После построения каждого звена ломаной необходимо проверить точность
аппроксимации кривой . Для этого, приняв проекцию хорды на плоскость
за новую ось абсцисс,
и , воспользовавшись преобразованием вида (2), найдем уравнение кривой в
системе
:
. (6)
При этом
. (7)
Теперь нужно произвести исследование функции (7) на экстремум. Если он
окажется не более , то пространственная кривая будет аппроксимирована с
требуемой точностью.
Если же он окажется больше , то все приведенные выше вычисления нужно повторить, поменяв
порядок рассмотрения функций
и
.
Точность аппроксимации может быть задана не в виде наибольшего
допустимого расстояния от хорды до кривой, а в виде наибольшего отклонения
значений аппроксимируемой функции и
от хорды при одних и
тех же значениях
(отклонение по вертикали).
Пусть допустимая величина отклонения по оси равна
. Это значит, что наибольшее расстояние проекции кривой на
плоскости
от аппроксимирующей
хорды вдоль оси
не должно превышать
величины
.
Итак, через точку А1 нужно провести хорду так, чтобы удовлетворялась требуемая точность аппроксимации. Для этого нужно найти координаты её вто
рого конца С1().
Уравнение прямой А1С1 запишем в виде
. (8)
Тогда она проходит через точку А1(). Тогда
Отсюда
и (8) принимает вид
. (9)
Величина отклонения кривой от аппроксимирующей хорды описывается функцией:
. (10)
Решение системы уравнений
(11)
дает угол , обеспечивающий заданную точность.
Координаты точки С1 определяются из системы уравнений (5).
Теперь нужно проверить точность аппроксимации хордой А2С2
кривой .
Уравнение прямой А2С2 имеет вид ,
где определяется по
формуле (7).
Если экстремум функции
не превышает заданной точности аппроксимации по оси , то задача решена правильно; если же превышает, то все
проделанные вычисления нужно повторить, начиная с аппроксимации кривой
.
Литература.
1. Сластин Ю.В. Бикубические поверхности на многоугольниках. Сб. трудов МАИ “Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей”, вып. 331, 1975.