Воинова И. В.,

Сафонова Л. А.

МГПИ им. М.Е. Евсевьева,

каф. методики начального образования

Формирование умения строить умозаключения

в курсе математики факультета начальных классов

Нетрудно понять значение слова «умозаключение» – сделать вывод в результате какой-либо мыслительной операции. Умозаключение еще определяется как логический прием (или операция) по получению новых знаний. Этот прием используется и при формировании понятий, и при изучении теорем и их доказательств, и при решении задач. С точки зрения философии, умозаключение – это одна из форм мышления, наряду с понятием и суждением.

Умение строить умозаключения считается наивысшим уровнем мыслительной деятельности, поэтому его формированию следует уделять особое внимание. Благодатной почвой для этого является курс математики, в котором широко используются абстрактные понятия и логические структуры (определения, правила, теоремы, доказательства).

Все умозаключения делятся на дедуктивные, индуктивные и умозаключения по аналогии. В данной статье раскроем методику работы с дедуктивными умозаключениями, так как лишь в результате их выполнения получаются всегда достоверные (истинные) суждения.

Построение дедуктивных умозаключений основано на определенных правилах (схемах), которые фиксируют их структуру. Любое умозаключение состоит из посылки и заключения, находящихся между собой в логической связи. Переход от посылок к заключению называется выводом. Если вывод получен из истинных посылок, то его называют логическим следованием. В связи с этим, правильность дедуктивных умозаключений зависит от двух факторов: 1) от истинности посылок; 2) от правил вывода, основанных на логических законах следования. Эти правила фиксируют логическую форму умозаключения, которую можно записать в виде формулы, например:

1) – правило силлогизма;

2) – правило заключения;

3) – правило отрицания.

В курсе математики факультета начальных классов изучаются эти схемы построения дедуктивных умозаключений. Умение ими пользоваться необходимо будущим учителям для успешного обучения младших школьников, так как содержание математики и других школьных дисциплин включает в себя немало заданий, выполнение которых предполагает рассуждения по перечисленным правилам логики.

Например, при решении уравнений учащиеся начальных классов используют зависимость между компонентами и результатами арифметических действий. С точки зрения логики правило нахождения искомого компонента является общей посылкой. Чтобы решить конкретное уравнение, ученик должен определить необходимое правило и, воспользовавшись им, подставить данные числа, что и будет частной посылкой. В приведенном рассуждении мыслительный процесс учащихся осуществляется в соответствии с правилом заключения.

Пусть дано уравнение х + 3 = 5. Известно, что х + a = bÞ х = b – a, где a и b – заданные числа. Следовательно, х = 5 – 3. Логическая структура данного умозаключения имеет вид: .

В нашей статье методика работы над умением строить умозаключения основывается на деятельностном подходе, т.е. на формировании отдельных действий, адекватных определенной деятельности.

При построении умозаключений по указанным правилам используются следующие логические приемы: 1) построение дедуктивных умозаключений (по правилам заключения, отрицания и силлогизма); 2) определение степени правильности умозаключения.

Первый прием включает в себя действия по нахождению общих и частных посылок, установлению логического следования между суждениями и построение заключения (нового истинного суждения).

В состав второго приема входят действия: нахождение значения истинности общих и частных посылок, установление логического следования между суждениями, нахождение примеров, опровергающих правильность данного умозаключения.

Отработка перечисленных действий со студентами может осуществляться как в разделе «Элементы математической логики», так и на протяжении всего вузовского курса. Для формирования каждого из перечисленных действий следует использовать специальные задания.

Приведем примеры таких заданий для формирования умений формулировать общую и частную посылки при построении умозаключений по правилам заключения (а) и отрицания (б).

Задание 1.

а) Дополните утверждение.

Если ……………………………., то ………… .

Функция у = х² – четная, следовательно, ее график симметричен относительно оси ОУ.

б) Запишите пропущенное утверждение.

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.

…………………………… , следовательно, четырехугольник АВСD не ромб.

Для того чтобы студенты могли устанавливать логическое следование между суждениями и формулировать выводы из данных утверждений можно применять задания на восстановление «цепочки» рассуждений, в данном случае на основе правила силлогизма.

Задание 2.

Восстановите последовательность этапов решение квадратного уравнения х² – 4х + 3 = 0 методом выделения полного квадрата.

1.½х – 2½ = 1.

2. .

3. х – 2 = 1 или 2 – х = 1.

4. (х – 2)² = 1.

5. (х – 2)² – 1 = 0.

6. х = 3 или х = 1.

Нами приведено нетрадиционное задание, цель которого не столько в нахождении корней уравнения, сколько в установлении последовательности шагов решения.

Перейдем к рассмотрению действий второго приема, а именно нахождение значения истинности общих и частных посылок.

Задание 3.

Выберите верные утверждения:

1. В равнобедренном треугольнике все углы равны.

2. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

3. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180⁰.

4. Сумма двух углов при основании равнобедренного треугольника равна 90⁰.

При выполнении этого задания студенты определяют истинность и ложность утверждений, которые являются общими посылками.

Следующее действие по установлению логического следования между суждениями было рассмотрено в задании 2.

Покажем упражнение на формирование умения приводить примеры, опровергающие правильность данного умозаключения.

Задание 4.

Выберите неверные умозаключения.

1. Если а > 5, то а > 3 . а £ 5, следовательно, а £ 3 .

2. Если х = у, то ½х½=½у½. х ¹ у, следовательно, ½х½¹½у½.

3. Если х = у, то х² = у². Если х = у, то х + 1= у + 1. Следовательно, если х² = у², то х + 1= у + 1.

Умозаключения этого задания являются неверными, для их опровержения достаточно привести соответствующие контрпримеры. В первом случае нужно найти число, меньшее 5, но не меньшее 3, например а = 4; во втором – взять противоположные числа, т. е. такие, что х = – у; в третьем случае также можно воспользоваться противоположными числами.

С целью осуществления методической направленности вузовского курса математики на занятиях студентам можно предлагать упражнения по рассмотренным структурам на материале дисциплин начальной школы.

Задание 4.

Исправьте неверные рассуждения.

1. Все звери животные. Комар – животное. Следовательно, комар – зверь.

2. В словах после шипящих вместо букв ю, я, ы пиши буквы у, а, и. Слово «жюри» пишем с ю, следовательно, ж – не шипящая.

3. Все березы – это деревья. Все деревья – это растения. Следовательно, все растения – березы.

При выполнении данного задания студенты соотносят логическую структуру рассуждений с известными правилами построения умозаключений, выясняют и исправляют ошибку.

В заключении хотелось бы отметить, что функции подобных заданий достаточно разнообразны. Их применение на занятиях позволяет формировать знания и умения студентов, развивать их творческий потенциал, контролировать уровень имеющихся и приобретенных знаний.