Ким В.Ю.

УДК 531/534

Вывод формулы для расчета длины траектории тела, брошенного под углом к горизонту.

Введение: Любое тело, брошенное под углом к горизонту, вследствие притяжения Земли двигается по криволинейной траектории. С помощью простых действий над уравнениями координат мы можем рассчитать дальность полёта (т.е. перемещение), максимальную высоту подъема и время полёта. Но рассчитать длину траектории, (т.е. параболы), с помощью только уравнений координат просто так невозможно. Нашей задачей является решить данную проблему. Эта задача сложна не только потому, что нами будет задействовано интегральное и дифференциальное исчисление, но и то, что до сего времени её никто ещё не выводил.

Задача: найти длину траектории (), тела брошенного под углом к горизонту, если известна начальная скорость () и угол вылета (α).

Мы можем пользоваться уже ранее выведенными формулами:

-для расчёта перемещения,

-для расчёта максимальной высоты подъёма.

1) Для начала проанализируем график. Так как он имеет форму параболы его можно исследовать методом математического анализа.

2) Введём новую систему координат (X1;Y1) из вершины параболы. Вершина как очевидно имеет координаты относительно старых координат (S/2 ; h_max).

X1

S/2

S/2

3) Далее отобразим параболу в первую и вторую четверти, относительно новой системы (пунктирная линия). Это надо для того, чтобы функция данного графика имела положительное значение. Так как проеденный путь скалярная величина то ошибок при расчете со знаками не будет.

4) Проанализируем полученный график: данная парабола имеет такие же размеры, как и сама траектория. Её вершина имеет координаты (S/2;h_max)- относительно старой системы и (0;0) относительно новой. Вершины отображенной параболы и траектории совпадают.

5) Уравнение любой параболы можно записать в виде , где - искажающий коэффициент (т.е.какое то постоянное число). Данное уравнение можно приравнять и к нашей параболе, для этого нам надо рассчитать .

6) Из уравнения выразим искажающий коэффициент: , так как при

= h_max, =s/2 .

7) Из всего этого следует, что уравнение траектории можно будет записать в виде: , где = .

8) Далее данную формулу мы можем исследовать методом математического анализа, так как она записана в виде функции.

9) В математике есть одна замечательная формула для нахождения длины дуги плоской кривой - . Так как:

10) Подставим и преобразуем, эти данные в выше указанную формулу и получим:-пределы интегрирования.

11) Данный интеграл можно подвести под табличный, так как любой интеграл от суммы квадратов равен:

12) Подставляем наши данные в выше указанную формулу и получаем:

13) Так как это значение подставляем в выражение, затем выносим ¼ из под корня:

14) Сокращаем и упрощаем:

15) Ещё раз упрощаем:

16) Теперь вместо S и h подставляем уже ране выведенные формулы: (т.е. и ).

17) Получаем: осталось только упростить и сократить

18) Мы получили данную формулу:

Наша задача решена.

Заключение: Данную формулу можно использовать, например, для расчета заряда фейерверка при запуске на определенную длину пробега, а также для расчета длины троса китобойных гарпунов, эта формула будет применима и для специальных баллистических расчетов.