Секция: «Технические науки» / «Механика»

Антонов Б. И.

Одесский национальный морской университет, Одесса

ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БРУСА ПЕРЕМЕННОГО

СЕЧЕНИЯ

Исследование продольных колебаний бруса переменного сечения имеет практическое значение и представляет сложную математическую проблему, анализ которой в большинстве случаев возможно выполнить только численными методами.

Целесообразно для решения рассматриваемой задачи применить метод конечных элементов (МКЭ). Для этого необходимо располагать матрицами жесткости и масс конечного элемента (КЭ) бруса переменного сечения.

Для решения указанной задачи необходимо рассмотреть КЭ бруса, в каждом естественном узле которого достаточно предусмотреть одну степень свободы - осевое перемещение (рис. 1).

В этом случае вектор-столбец узловых перемещений КЭ имеет структуру

, (1)

где - время.

Принятая структура вектора-столбца (1) позволяет представить функцию осевого перемещения точек оси КЭ в виде:

(2)

где - множители.

Выражения (2) целесообразно записать в матричной форме

, (3)

где

- матрица-строка координатных функций;

- вектор-столбец подлежащих определению множителей.

Рис. 1. Конечный элемент бруса переменного сечения, связанный с

местной и общей системами координат

Подчинив выражение (3) кинематическим граничным условиям в узлах КЭ, получим выражения, связывающие векторы-столбцы и .

Исключив из выражения (3) вектор-столбец , получим

, (4)

где - квадратная матрица преобразования.

Изменение площади поперечного сечения бруса клиновидной формы принято в виде (рис. 2,а)

, (5)

где - площадь левого торцевого сечения КЭ;

;

Здесь обозначено: -ширина и высота левого (правого) торцевого сечения КЭ (рис. 2,а).

Рис. 2. Типы конечных элементов бруса переменного сечения

Для конического КЭ (рис. 2,б) .

В этом случае выражение (5) принимает вид

(6)

На рис. 3 приведены некоторые из возможных форм поперечного сечения бруса. Характерный размер сечения изменяется линейно от значения на левом конце до на правом конце КЭ, тогда как все другие размеры поперечного сечения пропорциональны изменяющемуся размеру

сечения (множители являются постоянными и при этом должны соблюдаться соотношения .

На основании зависимостей (4)–(6) получены выражения для вычисления элементов матрицы упругой жесткости и матрицы масс конечного элемента бруса переменного сечения.

Рис. 3. Конечные элементы переменного сечения

Уравнение движения упругой системы без сопротивления имеет вид [1]

, (7)

где - матрица упругой жесткости и - матрица масс бруса (ансамбля КЭ) в общей системе координат; - вектор узловых перемещений бруса в общей системе координат; - вектор узловых ускорений; - вектор действующих на брус внешних узловых сил в общей системе координат.

Приняв и , из уравнения движения (7) получим матричное уравнение для исследования свободных колебаний упругой системы без сопротивления

, (8)

где - вектор амплитуд узловых перемещений в общей систем координат; - собственные частоты упругой системы.

Решение уравнения (8) может быть выполнено с использованием алгоритма, рассмотренного в работе [2].

Для иллюстрации применения рассмотренного КЭ бруса переменного сечения решена задача: определены две наименьшие собственные частоты и продольных колебаний жестко заделанного на левом конце консольного бруса прямоугольного сечения единичной ширины (1 м), имеющего форму клина (рис. 4), которые можно вычислить по формуле

( = 1,2 – номер частоты колебаний).

В расчете использованы следующие данные: длина бруса = 2,4 м, высота левого торцевого сечения = 0,4 м, высота правого торцевого сечения = 0,2 м модуль упругости материала бруса =210 ГПа, плотность материала = 7,85 .

Рис. 4. Расчетная схема бруса переменного сечения

В таблице приведены значения множителя . Отметим, что у бруса, для которого получено решение, отношение / = 2.

В работе [3] для указанного частного случая методом Бубнова – Галеркина решена аналогичная задача (найдены две наименьшие собственные частоты продольных колебаний бруса переменного сечения). В таблице также приведены результаты упомянутого решения.

Таблица

Номер частоты колебаний	Число КЭ	Множитель		Расхождение сравниваемых результатов %%
		Метод конечных элементов	Известное решение [3]
1	8	1,796	1,794	0,11
	16	1,795		0,06
	32	1,794		0
2	8	4,870	5,003	3,24
	16	4,820		4,23
	32	4,800		4,63

Следует отметить, что совпадение сравниваемых результатов для второй собственной частоты несколько хуже, чем для первой.

Литература:

1. Антонов Б. И. Решение статических и динамических задач для бруса переменного сечения методом конечных элементов // Вісник Одеського національного морського університету. Вип. 17. - Одеса.: Вид-во ОНМУ. - 2005 . - С. 271 - 281.

2. Антонов Б.И. Об одном алгоритме решения обобщенной проблемы собственных значений // Современные проблемы судостроения и судоремонта [ОИИМФ].– М.: В / О «Мортехинформреклама», 1991. С. 78 – 81.

3. Бабаков И.М. Теория колебаний. – М.: «Наука», 1968. – 559 с.