Сериков В.И., Воронин С.В., Воронина О.А.

Липецкий государственный технический университет, Россия

Связь обобщённого уравнения Бюргерса с уравнениями квантовой теории.

В настоящей работе рассматривается связь между модифицированным уравнением Клейна – Гордона, уравнением Шрёдингера и обобщённым уравнением Бюргерса.

Хорошо известно [1], что уравнение Бюргерса

, (1)

где , ( – константы), при помощи подстановки Хопфа – Коула

, (2)

можно преобразовать в линейное уравнение типа теплопроводности

. (3)

Константа С в уравнении Бюргерса имеет смысл скорости волны, что позволяет сделать переменные в уравнении однородными. Для этого можно произвести замену и константу в правой части представить, как . Если теперь сделать ещё одну замену , , то мы получим полный аналог уравнения теплопроводности. Замена , , где приведёт к уравнению типа одномерного уравнения Шрёдингера

. (4)

Полное совпадение достигается, если константу определить равенством . Рассматривая величину С как константу релятивистской теории, можно также записать . Применяя рассмотренную замену переменных в уравнениях (1) и (2), представим уравнение Бюргерса и подстановку Хопфа – Коула в виде

, (5)

. (6)

Можно утверждать, что уравнение Бюргерса в форме (5) при помощи подстановки Хопфа – Коула в форме (6) преобразуется в уравнение Шрёдиргера (4).Нетрудно видеть, что уравнение (5) представляет собой нелинейное уравнение Шрёдингера. Следовательно, можно говорить о преобразовании нелинейного уравнения Шрёдингера в линейное при помощи подстановки (6). Далее рассмотрим трёхмерное уравнение типа (5)

, (7)

и соответствующую подстановку типа (6)

. (8)

Подстановка (8) преобразует уравнение (7) в трёхмерное уравнение Шрёдингера для свободной частицы.

. (9)

Рассматривая подстановку типа Хопфа-Коула (8) для комплексно-сопряжённой функции

, (10)

и комплексно-сопряжённое уравнение (7)

, (11)

можно показать, что подстановка (10) в уравнении (11) приводит к комплексно-сопряжённому уравнению Шрёдингера. Вводя квантовые операторы , , уравнение (7) можно записать в виде

. (7a)

Отметим так же, что и уравнение (7) имеет вид аналогичный нелинейному уравнению Шрёдингера. Уравнение (7) может быть подвергнуто дальнейшему обобщению. С этой целью предлагается рассмотреть четырёхкомпонентные функции и ввести в уравнение (7) и в преобразование (8) релятивистские аналоги операторов. Тогда обобщённое уравнение Бюргерса принимает вид

, (12)

а соответствующее преобразование Хопфа – Коула принимает вид

. (13)

Здесь приняты стандартные обозначения [2]:

и, соответственно, , а также ; ; , и, кроме того, оператор Даламбера имеет вид .

Подставляя выражение (13) в уравнение (12), приходим к модифицированному уравнению Клейна – Гордона [3] в форме

. (14)

И вновь, обращая внимание на тот факт, что уравнение (12) аналогично нелинейному уравнению Клейна – Гордона, можно говорить о том, что обобщённая подстановка Хопфа – Коула (11) преобразует нелинейное модифицированное уравнение Клейна – Гордона в линейное модифицированное уравнение. На наш взгляд, заслуживает внимание то существенное обстоятельство, что в обобщённом уравнении Бюргерса (7) волновая функция Φ является вектором в трёхмерном пространстве, а в 4-мерном обобщённом уравнении (12) волновая функция является контравариантным вектором в пространстве Минковского. Обобщённое уравнение Бюргерса для волновой функции в виде ковариантного 4-мерного вектора имеет вид

, (15)

а соответствующая обобщённая подстановка Хопфа – Коула может быть представлена в форме

. (16)

Связь обобщённого уравнения Бюргерса с уравнениями квантовой электродинамики можно проследить и далее, если принять во внимание [3], что модифицированное уравнение (14) с помощью преобразования

, (17)

переходит в обычное уравнение Клейна – Гордона, которое методом факторизации приводится к уравнениям Дирака.

Литература:

1. Красильников, В.А. Введение в физическую акустику [Текст]: учебное пособие для физических специальностей вузов / В.А.Красильников, В.В.Крылов. – М.: Наука, 1984. – 400 с.

2. Кейн, Г. Современная физика элементарных частиц [Текст]: моногр.; пер. с англ. / Г. Кейн. – М.: Мир, 1990. – 360 с.

3. Сериков, В.И., Релятивистское уравнение Шрёдингера и принцип соответствия [Текст] / В.И. Сериков, С.В. Воронин, О.А. Воронина //Вести учеб. заведений Черноземья. – 2008. – №1. – с. 50-55.