А.П. Рябушко, О.Л.Зубко, Т.А. Жур*, И.П. Боярина*

Белорусский национальный технический университет, г.Минск

*Белорусский государственный аграрный технический университет, г.Минск

Релятивистские первые интегралы и траектория движения тела при учете светового давления

1.Введение. В работе [1] выведены уравнения движения (УД) пробного тела массой покоя m₀ в гравитационном поле звезды массой М при учете давления электромагнитного (светового) излучения звезды на тело (см. [1], формулы (19)):

₍₁₎

где ; М > А₁ – поле притяжения; k – коэффициент отражения телом света и ; – миделево сечение тела в системе отсчета К, относительно которой тело покоится; – звездная постоянная, т.е. полное количество энергии электромагнитного излучения звезды, в системе покоя звезды К, приходящего за 1 сек на 1 см² неподвижной в системе К площадки, перпендикулярной направлению на звезду и находящейся на расстоянии от звезды; – ньютоновская постоянная тяготения; – скорость света в вакууме; t – время по часам неподвижного в системе К наблюдателя; – поступательная скорость пробного тела на орбите; – угол между и векторами и ( рис.1 ). Первые члены справа в УД (1) обязаны своим возникновением учету прямого солнечного давления, вторые – учету продольного эффекта Доплера, третьи – учету аберрации света, приводящего к эффекту специальной теории относительности Пойнтинга-Робертсона.

Так как движение плоское, то без ограничения общности за плоскость движения в пространстве, в котором введена прямоугольная декартовая система координат Ох¹х²х³, принята координатная плоскость Ох¹х² и УД (1) следует заменить нулем и тогда приходим к классическим ньютоновским УД пробного тела (частицы, астероиды, планеты) в гравитационном поле центра массой М:

Рис.1. Возможные траектории движения пробного тела в гравитационном поле звезды 0-F:

1 – опорный эллипс, по которому движется тело в ньютоновской теории тяготения;

2 – «раздувшийся» эллипс, по которому движется тело при учете светового давления звезды без учета членов

3 – траектория тела при учете Доплер-эффекта и аберрации в приближении

(2)

где является расстоянием от центра масс пробного тела Р(х¹, х², 0) до центра масс звезды. Пробное тело и звезду будем считать сферически симметричными. Введя на плоскости полярную систему координат по формулам и интегрируя УД (2), находим уравнение орбиты (траектории) пробного тела

, (3)

описывающее коническое сечение с параметром р и эксцентриситетом е. В дальнейшем будем рассматривать в поле притяжения финитные движения, т.е. эллипс (0<e<1), окружность (е=0). При выводе уравнения орбиты (3) использовались два первых интеграла системы дифференциальных уравнений (2): интеграл сохранения энергии

, (4)

где а – большая полуось эллиптической орбиты; – квадрат поступательной скорости пробного тела на орбите, и интеграл сохранения орбитального момента импульса пробного тела (интеграл площадей)

(5)

Влияние светового давления на движение пробного тела можно рассматривать с разной степенью точности, разумея под этим учет в УД (1) членов справа, не содержащих малый параметр ( нулевой уровень – ), и учет членов с и – это первый уровень, когда учитывается влияние продольного эффекта Доплера и аберрация.

Нулевой уровень подробно рассмотрен в работе авторов [2], формулы (11) – (15). Его получаем из УД (1), отбрасывая члены, содержащие :

(6)

Индекс «1» у хⁱ и r в (6) появляется по сравнению с (2) потому, что решения УД (6) будут отличаться от решений УД (2) из-за появления в УД (6) справа члена с А₁, характеризующего светового давление в наинизшем (нулевом) приближении по параметру .

Интегрирование УД (6) совершенно аналогично интегрированию УД (2). В итоге имеем следующие первые интегралы и уравнение орбиты при одинаковых начальных условиях для (2) и (6) (см. [2]):

(7)

Из этих соотношений и (3), (4) следует, что р₁ > p, e₁ > e, a > a₁, r₁ > r. Эллипсы (3) и (7) имеют общий периастр П и поэтому только при (см. рис. 1). Эллипс (3) мы называем опорным, а «раздувшийся» эллипс (7) называем возмущенным.

Целью настоящей работы является получение первых интегралов системы дифференциальных уравнений (1) (интеграла энергии и интеграла площадей), с их помощью нахождение уравнения орбиты пробного тела и исследование закономерностей его движения.

2. Первые интегралы УД (1). Сразу же отметим, что значок тильда «» в УД (1) появляется из-за учета членов , что обобщает УД (6) и видоизменяет решения УД (1) по сравнению с решениями УД (6).

Умножим первое уравнении в УД (1) на , а второе – на и полученные уравнения сложим почленно. В результате находим:

(8)

где значок тильда «» в уравнении справа опущен, чтобы не появились члены порядка .

Имея в виду, что

придаем уравнению (8) форму:

Почленное интегрирование последнего уравнения по времени t дает:

(9)

В появившихся интегралах перейдем от переменной интегрирования t к переменной . Для этого подынтегральные функции выразим через , используя (7). Последовательно находим:

(10)

_{Используя (10), далее вычисляем интегралы из (9):}

(11)

где значок «д» означает, что величина появилась из-за учета продольного эффекта Доплера;

(12)

где значок «а» указывает, что величина существует благодаря учету аберрации.

Постоянные интегрирования С_Д и С_а должны выбрать так, чтобы выполнялись начальные условия, (те же, что и при решении УД (2) и (6)): в начальный момент времени, когда , во-первых, орбиты должны проходить через периастр П опорной орбиты ; во-вторых, должны выполняться равенства ; и, в-третьих, .

При из (11) и (12) имеем I_Д = C_Д, I_а = C_а. Поэтому (9) при превращается в равенство

,

которое позволяет интеграл энергии (9) записать в виде:

(13)

Для вывода интеграла орбитального момента импульса (интеграла площадей) УД (1) умножим почленно первое из уравнений (1) на , второе – на и из второго полученного равенства почленно вычтем первое полученное равенство, что дает:

Здесь справа также заменяем на , чтобы не учитывать членов порядка . Интегрируя полученное уравнение по t, находим:

С помощью (7) в последнем интеграле перейдем к интегрированию по переменной и заменим их выражениями из (10). Тогда

(14)

где постоянную интегрирования С необходимо выбрать так, чтобы при секторные скорости для (5) и (14) были равны. Отсюда получаем, что и интеграл площадей полностью определился:

(15)

3. Уравнение орбиты. Найденные интеграл энергии (13) и интеграл площадей (15) дают возможность получить уравнение орбиты пробного тела.

Введем функции и из (15) найдем :

(16)

Во втором члене справа в (16) заменим на , соблюдая точность . Далее находим :

(17)

Помня, что , подставляем найденные в (16) и (17) и в интеграл энергии (13) и после достаточно простых преобразований приходим к дифференциальному уравнению, решение которого определят уравнение орбиты в приближении :

(18)

Решение уравнения (18) ищем в виде:

(19)

где – «малая» поправка к из (7), которая своим появлением, как и правая часть уравнения (18), обязана учету продольного эффекта Доплера и аберрации. Подставив из (19) в (18), приходим после простых преобразований к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка относительно

(20)

решение которого находим стандартным методом:

(21)

где С^* – постоянная интегрирования, она определяется из требования выполнения условия при :

4. Обсуждение полученных результатов.

I. Интеграл площадей (15) не зависит от эффекта Доплера и зависит от аберрации, интеграл энергии (13) от этих эффектов зависит, что в свою очередь приводит к зависимости траектории движения (19), (21) от этих эффектов: интегралы из (9), найденные в (11) и (12), формируют интеграл энергии (13), причем оба содержат вековые члены. Поэтому, учитывая аберрацию, что сделано в давних в давних работах [3, 4], следует также учитывать и продольный эффект Доплера, который того же порядка, что и аберрация. Но эффект Доплера в [3, 4] не был учтен, в чем усматривается некорректность.

II. Используя соотношения (7), (19), (21), интеграл энергии (13) можно записать в виде (с точностью до вековых членов):

(22)

Последний вековой член в (22) положителен при и поэтому интеграл энергии ограничивает количество оборотов пробного тела вокруг звезды только условием . С ростом также и растет, происходит перекачка энергии электромагнитного излучения звезды в кинетическую энергию пробного тела, которая увеличивается. Для при некоторых вековой член в (22) отрицателен, но в среднем скорость все равно увеличивается.

III. Интеграл площадей (15) ограничивает рост до величины , при которой секторная скорость обращается в нуль. Значение легко находим из условия обращения секторной скорости в нуль:

. (23)

С помощью (19), (21) – (23) находим с точностью до вековых членов значения и при :

(24)

(25)

Из (25) следует, что в точке , т.е. скорость только примерно в 1,72 раза больше скорости частицы в начальный момент, когда она находилась в периастре. Расстояние же этой точки до центра согласно (24) будет примерно в три раза меньше, чем в периастре.

IV. Обращение из (15) в нуль приводит также к следующим равенствам: Так как , то . В обоих случаях векторы коллинеарны и движение тела с момента, когда , происходит уже не по спирали, а по прямой – получаем радиальную траекторию (см. рис.1). Точку на траектории назовем точкой сепарации (separate – разделять), так как она всю траекторию разделяет на две части – спираль и прямую.

Соответственно этому закон радиального движения задается следующим УД:

(26)

которое получается из УД (1) при . Если в (26) , то тело удаляется от центра притяжения и последний член в (26), ответственный за продольный эффект Доплера, ослабляет световое давление на тело. Если же , то, наоборот, тело приближается к центру и световое давление на тело увеличивается.

Решением дифференциального уравнения (26) при начальных условиях будет функция

(27)

где в зависимости от того, какое значение имеет число – отрицательное, нуль, положительное соответственно; в случае двойного знака знак «+» соответствует удалению тела от центра, а знак «–» – приближению тела к центру притяжения.

Формулы (27) определяют законы радиального движения тела и при конкретных дают возможность рассчитать положение тела и его скорость в любой допустимый момент времени t.

V. Сделаем некоторые числовые оценки. Пусть частица начинает свое движение из перигелия орбиты Земли (Земля в это время находится вдали от перигелия) с той же скоростью , что и Земля во время прохождения точки перигелия П. Частица имеет , что соответствует редуцирующей массе частицы А₁ = 0,1М, где – масса Солнца. Выбранная характеристика частицы является одной из наиболее часто встречающихся в пылевой составляющей межпланетной среды Солнечной системы [3–7]. Согласно (23) и (24) такая частица достигает точки сепарации при оборотов, находясь на расстоянии от Солнца , т.е. в районе орбиты Меркурия. Района хромосферы Солнца, которая простирается до 10¹¹см от Солнца, частица достигнет, двигаясь по прямой , приблизительно через 10 суток в соответствии с (27). Скорость частицы в соответствии с (22) постепенно возрастает, начиная от стартовой скорости , проходя через точку сепарации со скоростью и достигая в хромосфере скорости несколько сотен километров в секунду, сгорает в ней.

Как видим, скорость частицы до ее разрушения остается малой по сравнению со скоростью света и параметр , по которому ведется разложение величин в предположении его малости, действительно мал.

При увеличении также увеличивается редуцирующая масс частицы А₁ и, следовательно, согласно (23) количество оборотов для достижения точки сепарации уменьшается, а скорость при движении по орбите увеличивается в соответствии с (22). Это приводит к тому, что газопылевое облако, состоящее из частиц с разными (хвост кометы, например) со временем должно размываться в пространстве.

Литература

1. Рябушко А.П., Жур Т.А., Боярина И.П.//Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз-мат. навук. 2012, №2.

2. Рябушко А.П., Жур Т.А., Боярина И.П.//Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз-мат. навук. 2011, №3. с. 80-89.

3. Фесенков В.Г.//Астрон. журн. 1946. Т.23, вып. 6.с. 353-366.

4. Фесенков В.Г. Солнце и солнечная система. Избр. тр. – М., 1976. с. 118-132.

5. Радзиевский В.В. // Солнечная система. Маленькая Энциклопедия «Физика космоса». М., 1976. с. 61-80.

6. Мартынов Д.Я. Курс общей астрофизики. М., 1971. §§26,39.

7. Кононович Э.В., Мороз В.И. Общий курс астрономии. М., 2004