А.А. Котесов

Ростовский государственный строительный университет

Аналитическое определение параметров закона Вейбулла для генеральной совокупности конечного объема по выборочным данным прочности стали

В настоящее время основной задачей машиностроительной области является повышение надежности строительных машин. Известно, что одним из основных показателей надежности (долговечности) является гамма-процентный ресурс. При этом значение ресурса, полученное по выборочным данным часто оказывается завышенным, что на практике может привести к преждевременным, то есть незапланированным отказам. Вместе с тем объемы совокупности конечного объема (далее совокупность) могут составлять сотни тысяч машин. Такое количество объектов исследовать невозможно, поэтому предложен метод перехода от параметров выборочного распределения к параметрам распределения совокупности для трехпараметрического закона Вейбулла.

Этод метод предполагает переход от среднего значения выборочных дисперсий к дисперсии генеральной совокупности конечного объема[1]

(1)

Методом максимального правдоподобия найдены выборочные параметры масштаба, формы и сдвига для закона распределения Вейбулла.

Среднее квадратическое отклонение для совокупности

₍₂₎

где s_в – среднестатистическое отклонение для выборки [2]

₍₃₎

Коэффициенты g_b и K_b по ГОСТу [2], как для выборочных данных так и для данных совокупности.

Тогда

₍₄₎

₍₅₎

, тогда получили уравнение

₍₆₎

и ограничили искомые параметры неравенствами

₍₇₎

Система неравенств с учетом вышеперечисленных коэффициентов и зависимостей

₍₈₎

Используя зависимости (2-8), получен аналитический метод и составлен алгоритм расчета параметров распределения закона Вейбулла А_, В_, С для совокупности, представленный на рис.1.

Принятые в данном алгоритме обозначения: х_i – вариационные ряды; а, b, с – выборочные параметры масштаба, формы и сдвига закона Вейбулла; А, В, С – аналогичные параметры совокупности.

Рис.1. Алгоритм расчета параметров распределения закона Вейбулла А_, В_, С для совокупности

По данному алгоритму проведен вычислительный эксперимент. Из моделированной совокупности, например объемом N_с=10⁴ получены выборки объемом m=50;100 в количестве n=100. Определены параметры распределения совокупности А_i, В_i, С_i для каждой выборки, найдены гамма-процентные значения для сдвигов выборки с_γ и совокупности С_γ., а также разница между ними, которая составляет для m=50 Δ=1,11÷10,89, а для m=100 Δ=0,97÷8,08.

Рис.2(а,б) Плотности распределения трехпараметрического закона Вейбулла: 1 – по выборочным данным ʄ(x, a, b, c), 2 – по найденным по алгоритму (рис.1) параметрам для совокупности ʄ(x, A, B, C), 3 – по параметрам исходной совокупности ʄ(x, A_с, B_с, C_с); C_γ и c_γ - гамма-процентное значение параметра сдвига соответственно для совокупности и выборки (γ = 99,999%); с, С – параметр сдвига для выборки и совокупности по алгоритму (рис.1).

Таким образом, можно сделать вывод о том, что аналитическим методом следует определять параметры трехпараметрического закона Вейбулла для совокупности конечного объема на основе параметров, полученных по выборке.

Библиографический список

1. Крамер Г. Математические методы статистики. – М.: Мир, 1975. – 648с.

2. ГОСТ 11.007-75. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для параметров распределения Вейбулла. М.: Изд-во стандартов, 1975. - 30 с.