Математика/4. Прикладная математика

Ученица 7 класса Кабанова Е. В.,

учитель математики высшей квалификационной категории Шарова С. Г.

Муниципальное образовательное учреждение гимназия г. Урюпинск, Россия

Задачи на построение

Геометрические задачи на построение, возможно, самые древние математические задачи. Кому-то они сейчас могут показаться не очень интересными и нужными, какими-то надуманными. И в самом деле, где и зачем может понадобиться умение с помощью циркуля и линейки построить правильный семнадцатиугольник или треугольник по трем высотам, или даже просто сделать построение параллельной прямой. Современные технические устройства сделают все эти построения и быстрее, и точнее, чем любой человек, а заодно смогут выполнить и такие построения, которые просто невозможно выполнить при помощи циркуля и линейки.

И все же без задач на построение геометрия перестала бы быть геометрией. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии.

В чем же особенность этих задач? Задачи на построение не просты. Не существует единого алгоритма для решения всех таких задач. Каждая из них по-своему уникальна, и каждая требует индивидуального подхода для решения. Именно поэтому научиться решать задачи на построение чрезвычайно трудно, а, порой, практически невозможно. Но эти задачи дают уникальный материал для индивидуального творческого поиска путей решения с помощью своей интуиции и подсознания.

Цель работы: разработать рекомендации при решении задач на построение с помощью циркуля и линейки, провести условное разбиение задач на классы, определяемые методами решения.

Объект исследования: построение с помощью циркуля и линейки в курсе основной школы.

Предмет исследования: решение задач на построение.

Гипотеза: применение разработанных рекомендаций при решении задач на построение будет способствовать наиболее эффективному творческому поиску путей решения при изучении геометрии в курсе основной школы.

Задачи:

1. Рассмотреть основные этапы решения задач на построение.

2. Рассмотреть методы решения задач на построение,

3. Подобрать наиболее эффективный способ построения в каждом конкретном случае.

Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры. Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи. Найти решение задачи на построение – значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.

Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.

Первый этап – анализ.

Это важный этап решения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи на построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру.

Второй этап – построение – состоит из двух частей: 1) перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи; 2) непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов.

Третий этап – доказательство.

После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательство существенно зависит от способа построения.

Четвертый этап – исследование.

При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (то есть при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этих вопросов и составляет содержание исследования.

К основным методам решения задач на построение, изучаемых в средней школе, относятся:

1. Метод геометрических мест.

2. Методы геометрических преобразований:

2.1. Метод центральной симметрии

2.2. Метод осевой симметрии

2.3. Метод параллельного переноса

2.4. Метод поворота

2.5. Метод подобия

3. Алгебраический метод.

Каждому методу сопоставляется определенный класс задач (См. Приложение). Однако провести классификацию задач на построение по методам их решения нельзя. Это следует уже из того, что многие задачи допускают несколько методов решения. Поэтому можно говорить лишь об условном разбиении задач на построение на классы, определяемые их методами решения.

В данной работе рассмотрены некоторые из этих методов и задачи, решаемые с их помощью. Выполняя поставленную перед собой цель, мы прорешали множество задач на построение, пользуясь при этом дополнительной литературой, задачниками, выяснили, какие способы можно использовать при решении таких задач. Мы узнали много нового о различных методах решения, поняли, что задачи на построение развивают математическую интуицию, учат логически мыслить и искать нестандартные пути решения не только математических задач.

Приложение

Математическая сущность методов геометрических мест состоит в том, что искомая точка определяется как точка пересечения некоторых двух геометрических мест (или иногда как точка пересечения некоторого геометрического места с данной прямой или окружностью). При этом те условия задачи, которые определяют положение искомой точки, расчленяются мысленно на два условия, и каждое из них дает некоторое геометрическое место, построение которого оказывается возможным (иногда одно из этих геометрических мест заменяется непосредственно данной прямой или окружностью).

Основа данного метода – понятие геометрического места точек. Геометрическим местом точек (ГМТ) пространства, обладающих данным свойством, называется множество всех точек пространства, каждая из которых обладает этим свойством.

Сущность метода геометрических мест заключается в следующем:

1. Задача сводится к построению некоторой точки.

2. Выясняется, какими свойствами обладает данная точка.

3. Рассматривается одно из свойств, строится множество всех точек, обладающих этим свойством.

4. Берется следующее свойство и так далее.

5. Поскольку искомая точка должна обладать всеми этими свойствами, то она должна принадлежать каждому из построенных множеств, то есть принадлежит пересечению этих множеств.

Задача на построение. Постройте остроугольный треугольник АВС по сумме углов В и А, высоте ВD и стороне АС.

Решение

Дан угол, представляющий сумму углов А и В, отрезок АС и отрезок ВD. Требуется построить такой треугольник АВС, в котором угол С₁= 180^{0 -} (угол А₁+ угол В₁), высота B₁D₁ равна отрезку ВD,сторона А₁С₁ равна отрезку АС.

Анализ

Допустим, что такой треугольник построен. Нам известна сумма углов А и В => мы можем найти угол С₁. Затем построим ∆СВD по катету и противолежащему углу. А потом достроим ∆АВС.

Построение

1. Построить прямую а.

2. Построить перпендикуляр (прямая b) к прямой а.

3. Отложить отрезок В₁D₁, равный ВD.

4. Построить отдельно угол С₁= 180⁰ - ( угол А₁+ угол В₁).

5. Построить угол В₁=90⁰ - угол С₁.

6. С₁- точка пересечения.

7. На прямой b провести окружность R=АС и с центром С₁.

8. А₁ - точка пересечения.

9. А₁ и В₁ соединить.

10. _∆А₁В₁С₁ - искомый.

Доказательство

1. ВD= B₁D₁(по построению).

2. угол С₁= 180⁰-( угол А₁+ угол В₁)(по построению).

3. А₁С₁=АС(по построению).

4. _∆А₁В₁С₁ - искомый.

Исследование

Задача имеет решение всегда.