Данилов И.П., Щербак Е.В., Леонтьев Д.В., Копыл С.А.,
Романюк А.
Харьковская государственная зооветеринарная академия,
Украина
Кафедра биотехнологии
Оптимизация получения объемного коэффициента массопередачи по кислороду
Сущность работы
Объемный коэффициент массопередачи Коб является
важнейшей характеристикой биореактора (1). Величина Коб, прежде всего, зависит
от мощности электродвигателя, типа и частоты вращения мешалки, внутренних
конструктивных элементов аппарата и др. Эти параметры, как и температуру культуральной
среды, можно изменять во время лабораторных исследований, а также и в ходе
промышленного микробиологического процесса. Однако величина Коб зависит и от
физико-химических свойств культуральной жидкости – вязкости, поверхностного
натяжения, рН, рЕ, состава среды и многих других факторов. Вследствие выделения
продуктов метаболизма, изменяются количество и состав взвешенной твердой фазы,
добавляются пеногасители и др. Поэтому, физико-химические свойства
культуральной жидкости в течение цикла
культивирования не остаются постоянными.
Имеющиеся
зависимости для расчета Коб являются эмпирическими и содержат различные
коэффициенты, определяемые экспериментально.
Методы
определения Коб могут быть прямыми и косвенными. Наибольшее распространение из
косвенных методов получил сульфитный метод (1, 2)
В
основе этого метода лежит реакция окисления Натрия сульфита в сульфат в
присутствии катализатора – ионов меди или Кобальта
Главными параметрами этой реакции, происходящей
в реакторе, прежде всего, могут быть определенная температура, расход воздуха и
интенсивность перемешивания.
Ионы
меди или Кобальта образуют с ионами сульфита труднорастворимые соединения, и,
таким образом, замедляют реакцию окисления сульфита кислородом воздуха.
Применение в качестве модельной среды
водного раствора сульфита натрия объясняется следующим:
1. по своим физико-химическим свойствам
аэрируемый раствор сульфита (суспензия сульфита меди или Кобальта) близок к
суспензиям микроорганизмов с содержанием сухого вещества до 2 %;
2. сопротивление процессу массопередачи
кислорода из газовой фазы в раствор сульфита сосредоточено в жидкой фазе
аналогично процессу массопередачи из газовой фазы в культуральную жидкость;
3. при определенных условиях (концентрация
катализатора, например, сульфата меди выше 10-4 кМоль/
, концентрация сульфата натрия в растворе выше 0,03 кМоль/
кислород в массе
жидкости находится в основном в связанном состоянии и при расчетах коэффициента
массопередачи рабочая концентрация кислорода в жидкости принимается равный
нулю.
Реакцию
окисления сульфита контролируют по остатку сульфита, который определяют
обратным йодометрическим титрованием или колориметрическим методом.
Концентрации сульфита применяют от 0,2 до 1 н. Обычно используют 0,5 н.
раствор. Скорость химической реакции окисления сульфита значительно выше
скорости абсорбции, поэтому общая скорость процесса определяется скоростью
абсорбции. Определяемый этим методом сульфитный коэффициент (сульфитное число)
характеризует скорость абсорбции кислорода в данном аппарате. Сульфитное число
колеблется от 0,5 до 5 и редко достигает 10 ммоль O2/(л·мин). Его величина определяется физико-химическими
свойствами раствора сульфита и гидродинамическими параметрами системы. Поэтому
данный коэффициент, может быть, не может быть использован лишь для
относительного сравнения массообменных возможностей аппарата.
Известны
два способа проведения экспериментов:
1. длительный многостадийный эмпирический подбор
значений параметров, влияющих на процесс;
2. математический метод планирования опытов.
Более
перспективны в биологических исследованиях математические методы планирования
экспериментов, которые позволяют быстрее найти и научно обосновать оптимальный
режим культивирования и состав среды (3 - Грачева) целью этих методов в
большинстве случаев является не только сокращение числа опытов, но и получение
математической модели процесса. Обработка экспериментальных данных может быть
выполнена либо вручную, либо на компьютере. Статистический анализ значимости
коэффициентов полученного математического описания процессов и его адекватности
позволяет с достаточной уверенностью находить оптимальные параметры процесса,
например, состав среды, условия ферментации и др. Математические модели процесса
позволяют объективно и количественно через соответствующие коэффициенты оценить
влияние каждого фактора на процессе с учетом возможного взаимодействия их со
всеми остальными факторами.
Планирование
эксперимента
Обработку
результатов математического планирования эксперимента осуществляют на основе
регрессионного анализа, для чего необходимы следующие предпосылки:
- ошибки эксперимента должны быть распределены
по нормальному закону Гаусса К.А.;
- опыты должны быть воспроизводимы.
Следовательно,
перед планированием эксперимента необходимо провести предварительные серии
опытов, чтобы выявить наличие или отсутствие этих предпосылок.
Существует
несколько способов проверки гипотезы о нормальном законе распределения ошибок
эксперимента и о воспроизводимости опытов. Чаще всего используют W
– критерий
и критерий Кохрена. Для этого требуется провести от 3 до 50 параллельных
опытов, выполненных в одинаковых условиях.
Согласно
данным работы [4] полученные результаты предварительного эксперимента
обрабатываются по следующим формулам:
1) располагают экспериментальные конечные данные
в порядке возрастания;
2) дают оценку дисперсии
; (1)
где n – количество
параллельных опытов, выполненных в одинаковых условиях;
3) рассчитывают значение величины b
; (2)
где 
– коэффициенты, взятые из таблицы (1), i – номер опыта.
Табл.
1. Коэффициенты 
, используемые при проверке гипотезы с помощью W – критерия
|
i |
n |
||||||
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
1 |
0,7071 |
0,6872 |
0,6646 |
0,6431 |
0,6233 |
0,6052 |
0,5888 |
|
2 |
|
0,1677 |
0,2413 |
0,2806 |
0,3031 |
0,3164 |
0,3244 |
|
3 |
|
|
|
0,0875 |
0,1401 |
0,1743 |
0,1976 |
|
4 |
|
|
|
|
|
0,0561 |
0,0947 |
4) рассчитывают значение Wp –
критерия
; (3)
5) сравнивают значение Wp с Wтабл.
(табл. 2)
Табл. 2. Критические значения W –
критерия при уровне значимости 0,05
|
n |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
W |
0,767 |
0,748 |
0,762 |
0,788 |
0,803 |
0,818 |
0,829 |
0,842 |
Если окажется, что Wp > Wт –
критерия, то в данном эксперименте все случайные погрешности подчиняются закону
Гаусса.
Для
проверки гипотезы о воспроизводимости опытов часто применяют критерий Кохрена
[4]. Для этого необходимы результаты нескольких серий параллельных опытов. В
каждом из них количество опытов должно быть одинаково (k). Прежде всего,
вычисляют среднее арифметическое значение конечного результата для каждой серии
параллельных опытов (
). Для расчета оценки дисперсий для всех серий опытов
пользуются формулой (a)
; a)
Вычисляют расчетное значение критерия Кохрена (b)
; b)
При уровне значимости q=0,05 , числе степеней свободы
и числе серий опытов
(N) находят табличное значение Кохрена 
. Если 
<
, принимают гипотезу о воспроизводимости опытов.
На
основании однородных оценок дисперсий вычисляют величину воспроизводимости
опытов по формуле (c)
; (c)
При выполнении гипотезы о нормальном
законе распределения ошибок и гипотезы о воспроизводимости опытов можно
продолжать проводить эксперимент с помощью математического планирования. В
большинстве случаев применяют полный факторный эксперимент (ПФЭ). В результате
его выполнения получают математическое описание процесса
где 
– коэффициенты
уравнения, которые определяют экспериментально.
Общее
число опытов ПФЭ определяют по формуле
; (6)
где m –
число факторов, влияющих на конечный результат (y).
Формулы
для расчета коэффициентов регрессии (5) по
результатам выполнения ПФЭ имеют вид
; (7) 
; (8) 
; (9)
где j – номер серии; i –
номер опыта в серии.
Оценка дисперсии в
определении коэффициентов регрессии
; (10)
Для
всех серий опытов оценка дисперсии будет
; (11)
; (12)
Проверка значимости коэффициентов регрессии
производят с помощью критерия Стьюдента [4]. Коэффициент регрессии 
считается значимым,
если выполняется условие
; (13)
где 
- среднеквадратичная
ошибка в определении коэффициентов регрессии;
Проверку
адекватности уравнения регрессии проводят с помощью критерия Фишера [4],
расчетное значение которого вычисляют по формуле
; (15)
где 
- оценка дисперсии
адекватности.
; (16)
где B – число значимых
коэффициентов уравнения регрессии; 
и 
– экспериментальное
и расчетное значение функции отклика в j – м опыте.
С оценкой дисперсии адекватности связано число
степеней свободы:
; (17)
Считается,
что уравнение регрессии адекватно описывает экспериментальные данные, если
выполняется условие: F
где 
- табличное значение
критерия Фишера.
На основе уравнения регрессии (5) после
проведения эксперимента и расчета коэффициентов можно провести оптимизацию
процесса определения 
по методу крутого
восхождения или симплексному методу.
Алгоритм
метода крутого восхождения (или спуска) состоит в следующем. На основании
уравнения регрессии ищется направление градиента критерия оптимальности в
точке, соответствующей центру плана ПФЭ. Затем рассчитываются шаги по всем
факторам для движения из центра плана в направлении крутого восхождения
(спуска) по поверхности отклика. В результате реализации этих опытов находят
экстремум (минимум) критерия оптимальности. Координаты найденного экстремума
(минимума) принимают за центр нового ПФЭ.
Если
окажется, что новый ПФЭ не позволяет получить адекватное линейное уравнение
регрессии, то в этом случае переходят к построению и реализации плана
эксперимента второго порядка, например, ортогональный центральный
композиционный план.
План
проведения эксперимента называется матрицей планирования. Выбор интервалов
варьирования и базовых уровней факторов является сложной задачей. Интервал
должен быть достаточно велик по сравнению с ошибкой эксперимента и достаточно
мал, чтобы более точно определить направление движения к оптимальной области
(см. табл. 3).
Табл. 3. Условия проведения ПФЭ
|
Условия |
Факторы |
||
|
|
|
|
|
|
Нулевой уровень |
100 |
2 |
28 |
|
Интервал варьирования |
20 |
0,5 |
2 |
|
Верхний уровень |
120 |
2,5 |
30 |
|
Нижний уровень |
80 |
1,5 |
26 |
Кроме трех основных факторов 
и 
, которые, безусловно, влияют на процесс окисления сульфита,
вводят еще три, так называемые парные взаимодействия 
,
и 
.
Матрица
планирования и результаты опытов представлены в табл. 4.
Табл.
4. Матрица планирования ПФЭ и результаты опытов
|
№ опыта |
Факторы |
Целевая функция |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- |
- |
- |
+ |
+ |
+ |
124 |
128 |
|
2 |
+ |
- |
- |
- |
- |
+ |
130 |
128 |
|
3 |
- |
+ |
- |
- |
+ |
- |
138 |
140 |
|
4 |
+ |
+ |
- |
+ |
- |
- |
145 |
140 |
|
5 |
- |
- |
+ |
+ |
- |
- |
158 |
156 |
|
6 |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
- |
157 |
156 |
|
7 |
- |
+ |
+ |
- |
- |
+ |
162 |
167 |
|
8 |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
168 |
167 |
Если на получение конечного результата влияют
множество факторов и их значение трудно определить, а также в случае большой
длительности эксперимента, то используют дробный факторный эксперимент,
представляющий определенную часть ПФЭ: 1/2, 1/4, 1/8, и т.д. [4].
Проведение эксперимента
Опыты
проводили на лабораторном реакторе вместимостью 3,2 л. Корпус реактора,
механическая шестилопастная мешалка и отбойные пластины внутри аппарата
изготовлены из нержавеющей стали.
Растворы
натрия сульфита, меди сульфата, натрия тиосульфата и йода готовили подобно
работе[2].
В
процессе работы периодически (через каждые 15 – 60 мин) из реактора отбирали
пробы объемом 5,00 
и титровали их
обратным йодометрическим методом. Таким образом, определяли остаточную
концентрацию сульфита. Продолжительность каждого опыта составляла 2 – 3 ч.
Опыты проводили согласно матрице планирования ПФЭ. Для проверки гипотезы о
нормальном законе распределения ошибок опыт №5 проделали трижды, а для проверки
гипотезы о воспроизводимости провели три серии по два параллельных опыта.
Обработка результатов
эксперимента
После
проведения всех опытов матрицы планирования значения объемного коэффициента
массопередачи производили по следующей схеме. Например, в опыте №5 остаточные концентрации
натрия сульфита в четырех пробах, взятых через определенные промежутки времени,
были, кг/
: 20,35; 18,70; 17,20; 16,40. Построили график зависимости
остаточной концентрации сульфита С от времени взятия пробы из реактора: 
.Данные графика обработаны по методу наименьших квадратов на
компьютере. По графику определили тангенс угла наклона прямой равный 0,079.
Вычислили удельную скорость абсорбции кислорода (сульфитное число)
=
или 0,6 кг/
.
Движущую силу процесса абсорбции определяют по
формуле
По справочнику [5] нашли, что константа фазового
равновесия 
при 30 
равно 54.
Давление отходящего воздуха из реактора приняли p=1атм. Концентрация
кислорода в отходящем воздухе будет 
=(150
0,21-0,6/1,429)/(150-0,6/1,429-150
0,0286)=0,214 об. долей,
где 
– плотность
кислорода, кг/
; 
– удельный расход
воздуха, 
/
; 
– содержание
кислорода в воздухе – 21%;
- концентрация паров
воды в воздухе в об. долях при 745 мм.рт.ст.
0,214/54=
кг/
Объемный
коэффициент массопередачи в 5-м опыте
М/
C=0,6/3,96
=15/
, а в двух других параллельных опытах оказались равны 148 и
160 
.
По формулам (1 – 3) и трем значениям 
провели гипотенузу о
нормальном законе распределения ошибок эксперимента. Было получено
=(
)-
=78
b=0,7071(160-148)=8,48
=
/78=0,922; 
.
Следовательно,
ошибки распределены по нормальному закону.
Далее,
произвели статистическую обработку полученных результатов. По формулам (7 – 9) рассчитали
коэффициенты уравнения и получили следующие результаты
; 
5,5; 
13,5; 
;
-1,7.
Проведенные вне плана
три серии по два параллельных опыта имеем следующие среднеарифметические значения
для каждой серии: 124; 128; 126.
Рассчитали
воспроизводимость опытов по формулам (a,b,c)
;
.
Расчетное значение критерия Кохрена 
=0,42, а табличное 
. Следовательно, гипотеза воспроизводимости справедлива.
Средняя оценка дисперсии воспроизводимости
Оценку дисперсии в определении коэффициентов
регрессии вычислили по формулам (10 – 12).
2,86/8=0,36.
Вычислили
значимость коэффициентов уравнения регрессий по формуле (13) и сравнили со
значением критерия Стьюдента 4,13 при уровне значимости 0,05 и числе степеней
свободы 3.
Следовательно,
получили, что коэффициенты 
– значимы, а
остальные коэффициенты уравнения регрессии, в том числе коэффициенты при парных
взаимодействиях незначимы.
Уравнение
регрессии приняло вид (в кодированных переменных)
y=147,7+5,5
+13,5
.
Проверили
адекватность полученного уравнения регрессии. Для этого получили расчетные
значения функции отклика по всем строкам матрицы планирования. Например, для
первой строки получили
Для
всех остальных точек плана расчетные значения 
приведена в табл.4.
Рассчитали
дисперсию адекватности по формулам (15 – 17)
Расчетное значение критерия Фишера 
13,3/2.86=4,6, а табличный коэффициент 
=8,94 при 
(0,05;6;3).
Т.к. 
, то полученные уравнения регрессии с двумя переменными
адекватно описывают экспериментальные данные.
Движение
к оптимуму
В
результате выполнения ПФЭ имеется уравнение регрессии
Для движения из центра плана ПФЭ в направлении
градиента критерия оптимальности вводят обозначения 
,
где 
– шаг движения для i –
го фактора на крутом восхождении; 
– коэффициент в
управлении; 
– интервал
варьирования.
Рассчитали
градиент критерия оптимальности, приняв в качестве основного фактора
температуру реактора с шагом 1
.
=0,04.
Рассчитали шаг для расхода воздуха
,
где значение 5,5 и 0,5 коэффициент уравнения и
интервал варьирования соответственно. Значение 
, выполнены в направлении градиента критерия оптимальности
содержатся в табл.5
Табл.5. Опыты крутого восхождения
|
№ опыта |
|
|
|
|
1 |
2+0,1 |
28+1 |
не выполняли |
|
2 |
2+0,2 |
28+2 |
не выполняли |
|
3 |
2+0,3 |
28+3 |
178 |
|
4 |
2+0,4 |
28+4 |
180 |
|
5 |
2+0,6 |
28+5 |
201 |
|
6 |
2+0,8 |
28+6 |
220 |
Выводы
1.
Исходя из полученных опытных данных на этапе движения к оптимуму, можно
продолжить двигаться в оптимальную область. Но на исследуемые факторы
налагаются ограничения.
2.
Незначимость коэффициентов регрессии у первого фактора (обороты мешалки) может
быть вызвана незначительной величиной интервала варьирования. Поэтому,
целесообразно расширить интервал варьирования по данному фактору и провести
новый эксперимент.
Литература
1. Гапонов К.П. Процессы и аппараты
микробиологических производств – М: Пищепром, 1981.
2. Данилов И.П., Копыл С.А., Щербак Е.В.,
Леонтьев Д.В. К вопросу об определении 
в биохимическом
реакторе.
«Materiály vi
mezinárodní vĕdecko – praktická konference», «Efektivní nástroje moderních vĕd – 2010» 27.04.2010 –
05.05.2010.Praha
3. Грачева И.М., Иванова Л.А., Кантере В.М.
Технология микробных белковых препаратов аминокислот и биоэнергия. Изд. 2 – е.
М.: Колос, 1992.
4. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В.
Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. – М.: «Наука», 1976.
5. Данкверто П.В. Газожидкостные реакции. – М.:
Химия, 1973.