УДК 517.5

Восстановления функции из класса Никольского с помощью тензорного произведения.

С.С. Тулешова.

Задача приближенного вычисления интегралов важна как с теоретической, так и с прикладной точек зрения и ей посвящена обширная литература.

Пусть даны числа N и s (N,s=1,2,…), b=(b₁,…,b_n)ÎR^N, x⁽ⁿ⁾Î[0,1]^s (n=1,2,…,N) и пусть F некоторый класс непрерывных функций s переменных.

Положим

Здесь интеграл понимается в смысле Римана, конечная сумма называется квадратурной формулой.

На основе результатов П.Я. Ульянова [1] в работе [2] определены классы функцией 1-периодических по каждой из переменных и таких, что

где , , , медленно колеблющиеся положительных функции при всех , а -тригонометрические коэффициенты Фурье функции .

Шкала классов представляет собой классификацию функций в широком диапазоне от предельно малой гладкости до аналитических и их подклассов, включая известные классы Коробова [3], где и причем при всех

В дальнейшим всюду через С(...) будем обозначать некоторые положительные величины, разные, вообще говоря, в различных формулах, зависящие лишь от указанных в скобках параметров. При положительной А и любом B записи и будут означать, что . При положительного А и В запись означает .

В 1957 году Н.М. Коробов [4] впервые теоретико-числовыми методами для класса построил точную в степенной шкале квадратурную формулу. Затем Н.С. Бахвалов [5] показал, что при а при s=3,4… а снизу И.Ф.Шарыгином [6] получена оценка (s=2,3…).

Если для данного целочисленного вектора с неотрицательными компонентами определим множество , где - целочисленная решетка s-мерного евклидова пространства и при то для погрешности квадратурной формулы

предложенных в 1962 г. Смоляком [7] для класса [2,8]

имеет место

для класса -

где число узлов в есть .

Пусть s-целое положительное число и r>0. Класс Никольского есть множество, составленное из всех суммируемых с периодом 1 по каждой переменной функций таких, что

где - тригонометрические коэффициенты Фурье-Лебега функции […]-целая часть числа.

Целью настоящей статьи является восстановление функции с помощью квадратурных формул на классе,именно, имеет место теоремы

. Теорема 2.1. Пусть , s=2 , r>2 и .Тогда справедливы следующее соотношение:

Теорема 2.2. Пусть , s=2 , r>2 и .Тогда справедливы следующее соотношение:

Теорема С. Пусть , s=2 , r>2 и .Тогда справедливы следующее соотношение:

Доказательство.

И так . Теорема доказанно.

Литература

1. Ульянов Т.Л. Математический сборник 1990г. 181. №5. с.589-609.

2. Темиргалиев К.Т. Классы и квадратурные формулы // ДАН. 2003. т. 393. №5. с.605-608.

3. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М. : Физматгиз, 1963.

4. Коробов Н.М.

5. Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. МГУ. Сер. Матем… мех. 1959. №4. с.3-18.

6. Шарыгин И.Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // Ж. выч. матем. физики. 1963. т.3. с.370-376.

7. Смоляк С.А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // Докл. АН СССР. 1963. т. 148. №5. с.1042-1045.

8. Темиргалиев Н. Доокл. АН СССР. 1990. т. 310. №5. с.1050-1054.

Литература

9. Ульянов Т.Л. Математический сборник 1990г. 181. №5. с.589-609.

10. Темиргалиев К.Т. Классы и квадратурные формулы // ДАН. 2003. т. 393. №5. с.605-608.

11. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М. : Физматгиз, 1963.

12. Коробов Н.М.

13. Бахвалов Н.С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. МГУ. Сер. Матем… мех. 1959. №4. с.3-18.

14. Шарыгин И.Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций // Ж. выч. матем. физики. 1963. т.3. с.370-376.

15. Смоляк С.А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // Докл. АН СССР. 1963. т. 148. №5. с.1042-1045.

16. Темиргалиев Н. Доокл. АН СССР. 1990. т. 310. №5. с.1050-1054.