Мельник В.М., Карачун В.В.

Національний технічний університет України «КПІ»

РУХ АБСОЛЮТНО ЖОРСТКОГО ЦИЛІНДРУ В ІДЕАЛЬНІЙ СТИСЛИВІЙ РІДИНІ

Проаналізуємо рух підводного апарату, розглядаючи його у першому наближені як коловий жорсткий, або пружно-деформований, циліндр, занурений в ідеальну стисливу рідину, під дією плоскої акустичної хвилі. Тиск за фронтом змінюється у часі ступінчасто або експоненціально. Такий режим може мати місце, наприклад, при підводному бомбардуванні. З цією метою застосуємо операційний метод за умови виконання наближених співвідношень для потенціалів відбитих та випромінених хвиль, що придатно для початкового і кінцевого інтервалів часу.

Плоский рух абсолютно жорсткого колового циліндру радіуса , який занурений в ідеальну (за відсутності в’язкості) стисливу рідину, під дією акустичної хвилі тиску описується диференціальним рівнянням

(1)

де – переміщення апарату в напрямку осі ; – потенціал падаючої хвилі, що розповсюджується із швидкістю с; – потенціал хвиль, відбитих від жорсткого нерухомого циліндру; – потенціал випромінених хвиль, зумовлених рухом циліндру; М – погонна маса підводного апарату; – контур його площини шпангоуту; – напрям зовнішньої нормалі до ; – щільність рідини; – час.

З напрямом розповсюдження хвилі сполучимо ось , початок відліку якої співпадає з первісно нерухомим апаратом.

Розглянемо рух апарату у нескінченому за всіма напрямами об’ємі рідини, яка перебуває у спокої.

Аналітичні міркування будемо відтворювати для ідеальної, тобто не в’язкої, рідини. Справедливості заради, слід наперед зазначити, що багато результатів за такого припущення суттєво розбіжні з дійсністю. В першу чергу це стосується розрахунку сил опору, якого зазнають рухомі тіла. Справа в тому, що сили внутрішнього тертя чи в’язкості в реальній рідині проявляються найбільш суттєво у тонкому прошарку, що безпосередньо прилягає до поверхні підводного апарату. Наявність навіть дуже незначної в’язкості, може докорінно змінити поле швидкостей і, отже, змінити пов’язане з ним поле гідродинамічних тисків навколо об’єкту.

Окрему роль відіграє прямолінійний і рівномірний рух апарату в рідині. Створюваний ним стан переміщення рідини буде, очевидно, усталеним відносно осей, які пов’язані з тілом. Для обчислення поля гідродинамічного тиску на підґрунті галілеєвого принципу відносності класичної механіки, обиремо за основні, “нерухомі” осі, задані вище. Інакше кажучи, задача поступального прямолінійного і рівномірного руху в рідині, яка знаходиться у стані абсолютного спокою на нескінченності, зводиться до задачі усталеного обтікання нерухомого тіла нескінченим потоком рідини, безгранично віддалені частки якої мають усюди однакову за величиною і напрямом швидкість.

Проаналізуємо, як найбільш простий, випадок плоского потоку, в якому розміщений апарат у формі нескінченного за протяжністю циліндра з утворюючими, що перпендикулярні площині течії. Обмежимо коло вирішуємих задач вивченням безвихорового потоку нестисливої рідини.

Граничні умови. Задачі Дирихле і Неймана. Звернімо увагу на найпростіші варіанти руху. За умови плоскої течії в нескінченній рідині, що знаходиться у спокої на нескінченності, породженої рухом циліндричного тіла, граничні умови для функції тока , очевидно, мають вигляд:

– для безмежно віддалених точок потоку (швидкість в цих точках повинна дорівнювати нулю)

(2)

– в кожній точці контура апарату, що рухається, повинні співпадати нормальні складові швидкості власне контура і швидкості прилеглих часток рідини (рис. 1).

Приймаючи до уваги, що

(3)

де – кут між елементом лінії току та оссю . Отже,

(4)

Сам нерухомий контур повинен стикатися з лінією току. У цьому випадку, до вимог (2), (3) приєднується гранична умова для нерухомого контуру –

(5)

Якщо апарат рухається, причому поступально із швидкістю вздовж осі , тоді умова (4) набуває вигляду –

Після інтегрування цього виразу вздовж контура, за умови, що , для всіх точок контура маємо:

.

Безвихоровий рух нестисливої рідини. Наведемо відомі співвідношення –

.

Поступальний безциркуляційний потік ідеальної рідини за прийнятого припущення про безвідривність обтікання не чинить на коловий циліндр ніякого результуючого тиску.

Рівняння безвідривності

доводить, що функція повинна задовольняти рівнянню Лапласа

для усієї області течії, тобто зовні поверхні . Вважаємо, що потенціал являє собою однозначну функцію. У кожній точці М поверхні повинна виконуватися гранична умова

де не що інше, як проекція на нормаль “” до поверхні швидкості точки М цієї ж поверхні. Нормаль прийнята зовнішньою.

Умова, що рідина перебуває у спокої на безмежно віддалених точках, зводиться до граничних умов

де .

Можна вважати, що величини прямують до нуля, якщо , подібно величині , а функція – подібно величині .

Припустимо, що рух апарату почався із стану спокою. Тоді, відповідно до теореми Лагранжа, течія рідини буде потенціальною. Окрім того, приймемо, що потенціал швидкості являється однозначною функцією (ця вимога зводиться до ствердження, що циркуляція швидкості вздовж довільного контуру в рідині дорівнює нулю). Відносно рухомих осей , течія за цих умов постає неусталеною навіть при рівномірному рухові циліндра.

Кінетична енергія безмірного прошарку рідини одиничної висоти може бути обчислена за формулою

де – маса витисненої рідини в об’ємі, що приходиться на одиницю довжини циліндра. Повна кінетична енергія системи “циліндр–рідина” буде дорівнювати:

де – маса циліндра.

Застосування закону живої сили для одиниці маси рідини призводить до рівності –

,

або так: ,

де – зовнішня сила, яка діє на циліндр в напрямку осі .

Остання рівність доводить, що циліндр відчуває силу опору тільки за умови прискорення свого руху. При рівномірному прямолінійному переміщенні опір зникає. Рух циліндру під дією зовнішніх сил чиниться так, ніби рідина відсутня, але циліндр отримав додаткову масу, яка дорівнює масі витисненої рідини.