Карачун В.В., Мельник В.М.

Національний технічний університет України «КПІ»

ЗБУРЕНЕ ПЕРЕМІЩЕННЯ РН ПІД ДІЄЮ АКУСТИЧНОЇ ХВИЛІ. ЛІНІЙНЕ НАБЛИЖЕННЯ

Спочатку розглянемо найбільш простий випадок – коли дія хвилі тиску передається на корпус РН тільки завдяки пружній в’язі.

Приймаючи вимушений рух ракети за поступальний, рівняння його руху можна навести у вигляді:

(1)

де – маса РН; – її переміщення вздовж осі .

Додавши до рівняння (1) наступні кінематичні співвідношення

(2)

отримуємо задачу Коші для функції . Розв’язок має вигляд –

(3)

де – жорсткість захвату РН; – збурюючий чинник, заданий за величиною. В найпростішому варіанті обидві ці величини константи.

За умови (3), рівняння шахти набувають структури:

(4)

Довжина РН визначена, тому змінні набуватимуть наступних значень:

Вважаючи товщину циліндра шахти настільки малою, що похідними по розв’язку можна нехтувати, бігармонічний оператор набуває виду –

(5)

Система рівнянь (4), таким чином, перетвориться –

(6)

Для циліндра шахти очевидно, що . Граничні умови для функцій слід формулювати для умови та :

(7)

За неоднорідних граничних умов, розв’язання відшукувалося б у вигляді суми:

,

де – які-небудь гладкі функції, що задовольняють заданим граничним умовам, – розв’язки системи (6) за однорідних граничних умов, але і з іншою правою частиною.

Таким чином, розв’язок системи (6) виявляється двоточковим. Розкладемо праву частину другого з рівнянь системи (6) в ряд Фур’є в прямокутнику по системі функцій

(8)

Тоді –

(9)

тут – довжина шахтного відсіку.

Коефіцієнти Фур’є функції обчислюються за формулами:

Отже,

(10)

Зважаючи, що робимо висновок – коефіцієнти являються функціями часу і параметра (точки прикладення пружної в’язі).

Розв’язок системи (6) шукаємо у формі рядів Фур’є за функціями системи (8) в прямокутнику:

(11)

Найближчою метою є знаходження коефіцієнтів Фур’є та , які залежать від часу , координати та інших параметрів.

Підстановка (9), (10) та (11) в рівняння (6) дає:

(12)

або в такому вигляді –

(13)

Якщо , система (13) виглядає наступним чином:

(14)

За умови, що

(15)

має місце таке:

(16)