УДК 517.443

И. М. Конет, М. П. Ленюк

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПО СОБСТВЕННЫМ ЭЛЕМЕНТАМ ГИБРИДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА БЕССЕЛЯ -ФУРЬЕ-ЭЙЛЕРА НА ПОЛЯРНОЙ ОСИ

Построим ограниченное на множестве ={r : r Î(0, R₁)(R₁, R₂)(R₂, ¥)} решение сепаратной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Бесселя, Фурье и Эйлера для модифицированных функций

, r Î (0, R₁)

, r Î (R₁, R₂) (1)

, r Î (R₂, ¥),

по условиям сопряжения

, j, k = 1, 2. (2)

В системе уравнений (1) принимают участие дифференциальный оператор Бесселя [1] , дифференциальный оператор Фурье d²/dr² и дифференциальный оператор Эйлера [2] .

Предположим, что выполнены условия на коэффициенты: q_j > 0, ³ 0, ³ 0, c_1kc_2k > 0, .

Фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Бесселя ()v = 0 образуют модифицированные функции Бесселя первого рода (q₁r) и второго рода (q₁r) [1]; фундаментальную систему решения для дифференциального уравнения Фурье (d² / dr² – )v = 0 образуют функции v₁ = ch q₂r и v₂ = sh q₂r [2]; фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Эйлера ()v = 0 образуют функции v₁ = и v₂ = [2].

Наличие фундаментальной системы решений позволяет построить общее решение краевой задачи (1), (2) методом функций Коши [2, 3]:

u₁(r) = A₁ + ,

u₂(r) = A₂ch q₂r + B₂ sh q₂r + , (3)

u₃(r) = A₃ + .

Здесь E_j(r, r) – функции Коши [2, 3]:

,

, (4)

j₁(r) = , j₂(r) = 1, j₃(r) = .

Определим функции:

,

,

.

Непосредственно проверяется, что функция Коши

(5)

Введем в рассмотрение функции:

, ,

,

.

Непосредственно проверяется, что функция Коши

(6)

Предположим, что функция Коши

Свойства (4) функции Коши дают алгебраическую систему из двух уравнений:

,

.

Отсюда получаем соотношения:

, . (7)

Дополним алгебраическим уравнением:

: = 0. (8)

Из алгебраической системы (7), (8) находим, что

C₂ = .

Этим функция Коши E₃(r, r) определена и в силу симметрии относительно диагонали r = r имеет структуру:

(9)

Обратимся к формулам (3). Условия сопряжения (2) для определения величин A_j (j = ) и B₂ дают алгебраическую систему из четырех уравнений:

,

, (10)

,

.

В алгебраической системе (10) принимают участие функции

G₁₂= + ,

G₂₃ = + .

Введем в рассмотрение функции:

= , j = 1, 2,

= ,

= ,

= .

Предположим, что выполнено условие однозначной разрешимости краевой задачи (1), (2): для любого ненулевого вектора = {q₁; q₂; q₃} определитель алгебраической системы (10) отличен от нуля [4], т.е.

. (11)

Определим главные решения краевой задачи (1), (2):

1) порожденные неоднородностью условий сопряжения функции Грина

, ,

, (a) = (a₁, a₂, a₃),

, q = (q₁, q₂, q₃),

, , (12)

, ;

, ,

, ;

2) порожденные неоднородностью системы (1) функции влияния

,,

,

(13)

,

,

,

В результате однозначной разрешимости алгебраической системы (10) в силу условия (11) и подстановки полученных значений A_i (j = ) и B₂ в формулы (3) имеем единственное решение краевой задачи (1), (2):

u_j(r) = + +

+ + , j = . (14)

Построим теперь общее решение краевой задачи (1), (2) методом гибридного интегрального преобразования (ГИП), порожденного на множестве гибридным дифференциальным оператором (ГДО)

M_{n, (a)} = q(r)q(R₁ – r) + q(r – R₁)q(R₂ – r)d² / dr²+ q(r – R₂). (15)

Поскольку ГДО M_{n, (a)} самосопряженный и имеет одну особую точку r = ¥, то его спектр действительный и непрерывный [5]. Можно считать, что спектральный параметр b Î (0, ¥). Отвечающую ему спектральную вектор-функцию обозначим через V_{n, (a)}(r, b) = {V_{n, (a); 1} (r, b); V_{n, (a); 2}(r, b); V_{n, (a); 3}(r, b)}. При этом функции V_{n, (a); j} (r, b) должны быть решением сепаратной системы обыкновенных дифференциальных уравнений Бесселя, Фурье и Эйлера

, r Î (0, R₁)

, r Î (R₁, R₂), (16) , r Î (R₂, ¥)

по условиям сопряжения

, j, k = 1, 2. (17)

Здесь q(x)–одинична функция Хевисайда [3], b_j=()^1/2, ³ 0, j = .

Фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Бесселя ( + )v = 0 образуют функции и [1]; фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Фурье (d² / dr² + )v = 0 образуют функции v₁ = cos b₂r и v₂ = sin b₂r [2]; фундаментальную систему решений для дифференциального уравнения Эйлера ( +)v = 0 образуют функции v₁ = cos(b₃lnr) и v₂ = sin(b₃lnr) [2].

Предположим, что

V_{n, (a); 1}(r, b) = A₁(b₁r), r Î (0, R₁)

V_{n, (a); 2}(r, b) = A₂cos(b₂r) + B₂sin(b₂r), r Î (R₁, R₂), (18)

V_{n, (a); 3}(r, b) = A₃cos(b₃lnr) + B₃sin(b₃lnr), r Î (R₂, ¥).

Условия сопряжения (17) дают алгебраическую систему из четырех уравнений относительно пяти неизвестных:

, j = 1, 2,

. (19)

Решая алгебраическую систему (19) стандартным способом [4] и подставляя полученные значения величин A_j (j = ) и B_k (k = 2, 3) в формулы (18), имеем функции:

V_{n, (a); 1}(r, b) = c₂₁ c₂₂b₂ b₃,

V_{n, (a); 2}(r, b) = c₂₂b₃ [ –

– ], (20)

V_{n, (a); 3}(r, b) = w_{n, (a);2}(r, b)cos (b₃lnr) – w_{n, (a);1}(r, b)sin (b₃ln r).

В равенствах (19), (20) принимают участие функции:

,

,

,

= – ,

= + ,

, j = 1, 2;

, j, k = 1, 2,

, j = 1, 2,

.

Введем в рассмотрение весовую функцию

s (r) =q(r)q(R₁ – r)s₁ + q(r – R₁)q(R₂ – r)s₂ + q(r – R₂)s₃,

где , , s₃ = 1,

и спектральную плотность

W_{n, (a)}(b) = b[b₃(b)]^–1([w_{n, (a); 1}(b)]² + [w_{n, (a); 2}(b)]²)^–1.

Наличие спектральной функции

V_{n, (a)}(r, b) = q(r)q(R₁ – r) V_{n, (a); 1} (r, b) + q(r – R₁)q(R₂ – r)V_{n, (a); 2}(r, b) +

+ q(r – R₂)V_{n, (a); 3}(r, b),

весовой функции s(r) и спектральной плотности W_{n, (a)}(b) дает возможность определить прямое H_{n, (a)} и обратное ГИП, порожденное на множестве ГДО M_{n, (a)} [5]:

, (21)

. (22)

Здесь вектор-функция g(r) = {g₁(r); g₂(r); g₃(r)} – любая функция из области определения ГДО M_{n, (a)}. При этом

º +

+ + .

В основе применения введенного правилами (21), (22) ГИП для решения соответствующих задач лежит основное тождество интегрального преобразования ГДО M_{n, (a)}.

Согласно с работой [5] имеем утверждение.

Теорема (об основном тождестве). Если вектор-функция f(r) = {[g₁(r)]; ; [g₃(r)]} непрерывная на множестве , а функции g_j(r) удовлетворяют неоднородным условиям сопряжения (2) и условиям ограниченности

= 0,

= 0,

то имеет место основное тождество интегрального преобразования ГДО M_{n, (a)}:

H_{n, (a)}[M_{n, (a)}[g(r)]] = – +

+ . (23)

В равенстве (23) приняты обозначения:

h₁=, h₂=, , i,j = 1,2.

Единственное решение краевой задачи (1), (2), построенное по известной логической схеме методом ГИП, введенного по правилам (21), (22) [5], имеет структуру:

u_j(r) = +

+ +

+ + (24)

+ ,j = .

В равенствах (24) принимает участие функция

, q² = max{; ; }.

Сравнивая решения (14) и (24) в силу единственности, получаем такие формулы вычисления полипараметрических несобственных интегралов:

= , j, k = , (25)

= , m = 1, 2, j = , (26)

= , m = 1, 2, j = . (27)

Функции определены по формулам (13), а функции Грина определены по формулам (12).

Так как правые части в формулах (25) – (27) не зависят от неравенства () ³ 0, то можно положить , суживая при этом семью несобственных интегралов.

Итогом изложенного выше есть утверждение.

Основная теорема. Если вектор-функция g(r)={g₁(r);g₂(r);g₃(r)} удовлетворяет условиям теоремы об основном тождестве и выполняется условие (11) однозначной разрешимости краевой задачи (1), (2), то имеют место формулы (25)–(27) вычисления полипараметрических несобственных интегралов по собственным элементам ГДО M_{n, (a)}, определенного равенством (15).

Отметим, что результаты работы (формулы (25), (26), (27)) пополняют справочную математическую литературу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1982. – 62 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.

5. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економ. думка, 2004. – 368 с.