Мустафаев А.П.

 

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима

 

Замечательные свойства характеристик уравнения Лапласа

 

При исследовании стационарных процессов различной физической природы обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнения Лапласа

.                (1)

Весьма общим методом решения двухмерных задач для уравнения Лапласа является метод использующей функции комплексного переменного. Но мы не будем излагать общего метода решения уравнения Лапласа, а ограничимся рассмотрением нескольких видов преобразования, зависящие от различной комбинации характеристик, позволяющее получить частный вид общего решения через вполне определенные функции.

Вводя вместо х, у новую переменную зависящую, от характеристик

.                  (2)

Уравнение (1) приводится к дифференциальному уравнению вида

.                 (3)

Решая полученные уравнения и переходя к старым переменным получим общее решение уравнения (1) зависящее от произвольных постоянных  и  т.е.

.               (4)

Если положим

                       (5)

то уравнение (1) приводится к дифференциальному уравнению вида

,                          (6)

а с помощью замены

                     (7)

уравнение (7) приводится к дифференциальному уравнению вида

.           (8)

Решая полученные уравнения и перехода к старым переменным получим решение уравнения (1) в виде (4).

Аналогично с помощью замены

уравнение (1) приводится к различным дифференциальным уравнениям второго порядка, но решив эти уравнения и переходя к старым переменным получим решение уравнения (1) в одном и том же виде т.е.

.

А также с помощью замены

.

общий вид частного решения уравнения (1) сохраняется.

Итак, мы показали, что в некоторых случаях решение уравнения Лапласа не зависит от ведения новых переменных, связанных с различными комбинациями характеристик.

 

Литература.

1.                Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математичкой физике: Учебное пособие – М., Наука, 1980 г.

2.                А.П.Мустафаев Некоторые частные решения уравнения Лапласа. Materiáli IV mezinárodní vĕdecko-praktiká conference «Vĕdecké myšlené inflačního století – 2008» - Díl 13. Matematika. Praha Publishing House «Education and Science» s.r.o. 2008.