Мустафаев А.П.

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима

Явное решение одного класса уравнений в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение – независимо от того, является ли оно обыкновенным или содержит частные производные допускает бесконечное множество решений. Прежняя классическая точка зрения состояла в отыскание так называемого общего интеграла. Однако в более поздних работах, особенно в тех, в которых исследуются уравнения в частных производных, отказались от этой точки зрения из-за трудности, а иногда и невозможности получения общего интеграла.

С другой стороны, большое значение, особенно в прикладных вопросах, имеет получение явных форм интегральных представлений решений дифференциальных уравнений в частных производных.

В этой работе для уравнения в частных производных второго порядка вида

(1)

где коэффициенты А, В и С – заданные действительные числа и не обращаются в нуль одновременно, предложен способ, на основе которого находится частный вид общего решения через вполне определенную функцию.

Из курса уравнений в частных производных известно, что уравнение

(2)

называется характеристическим для уравнения (1), а его интегралы – характеристиками, выражение - дискриминантом.

При или с помощью замены

(3)

уравнения (1) приводится к дифференциальному уравнению вида

. (4)

Решая полученные уравнения и переходя к старым переменным, получим формулу, позволяющую записать общее решение уравнения (1) зависящее от произвольных постоянных и , в виде

. (5)

При с помощью замены , или , или , где , , - произвольные постоянные, и - линейная функция, удовлетворяющая единственному условию, что якобиан функции и был отличен от нуля, уравнение (1) можно записать в виде

.

Тогда общее решение уравнения (1) соответственно имеет вид

,

,

.

В правильности найденных решений легко можно убедиться непосредственной подстановкой их в уравнения.

Литература.

1. А.П.Мустафаев Об одном методе решения задачи Коши для волнового уравнения. Материалы международной научно-практической конференции «Современные научные достижения – 2008» Том 13. Przemys (Польша) Sp.z.o.o. «Hauka I studia – 2008».

2. А.П.Мустафаев Некоторые частные решения уравнения Лапласа. Материалы IV международной научно-практической конференции «Научная мысль информационного века – 2008» Том 13. Publishing House «Education and Science» s.r.o. Чехия, г.Прага.