Хашир Б.О., Хуажев О.З.

Кубанский Государственный Технологический Университет, Краснодар, РФ

Управление в системе ротации периода лесозаготовок.*

Традиционной экономической проблемой является время вырубки древостоя, которое управляется ценами, издержками, процентными ставками и продуктивностью древостоя в предположении их известности и постоянства. Целью является максимизация приведенной стоимости чистых поступлений. Данная проблема известна, как проблема Фаустмана.

Издержки регенерации древостоя на единицу площади обозначим C.

Лес растет согласно функции V(T), с заданным объемом древесины подходящей для продажи как функция от выбранного возраста древостоя T.

На дату лесозаготовки менеджер получает доход

P*V(T),

где: P обозначает чистую цену без издержек.

На земле снова насаждаются деревья, и цикл повторяется снова. Длина цикла ротации считается неизменной на протяжении всего времени. Проблема состоит в нахождении длины цикла, которая максимизирует приведенную стоимость поступлений от текущего и всех последующих циклов лесозаготовки. Задача выглядит следующим образом:

Условие первого порядка для задачи максимизации:

Этот результат может быть интерпретирован следующим образом:

возраст заготовки должен быть таким, что предельное увеличение стоимости от последующего роста должно в точности равняться упущенной выгоде, связанной с откладыванием сроков лесозаготовки.

^* Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ в рамках научно-исследовательского проекта РГНФ «Экономические аспекты управления малым бизнесом лесопромышленного комплекса», проект № 05-02-021-64а;

Альтернативные издержки включают потенциальный процентный доход, упущенный вследствие откладывания поступлений доходов от вырубки плюс процентные издержки удаления доходов от будущих заготовительных циклов. Эта часть отражает вмененную ренту земли. Альтернативно мы можем описать решение, указывая, что мы должны сохранять запасы леса невырубленными до тех пор, пока предельный рост комбинированного актива древесины и самой земли не будет в точности равен рыночной процентной ставке. Это значит, что вырубка не производится до тех пор, пока не верно равенство:

Цена земли определяется таким образом, что доходность инвестиций в управление участком будет не больше и не меньше чем аналогичная доходность от другого актива.

Мы не внесем никакой сложности, если предположим, что первоначально участок содержит растущий древостой. Время вырубки не изменится, если только текущий возраст древостоя не превышает возраст, являющийся решением Фаустмана. Если возраст древостоя превышает решение Фаустмана, то вырубка должна производиться немедленно и далее нужно следовать периоду вырубки по Фаустману.

Может оказаться, что наибольшее приведенное значение земли при любом цикле заготовки окажется отрицательным. В такой ситуации этим участком земли лучше не заниматься. Если участок в текущий момент содержит лес, и начальная заготовка была бы прибыльной, нам следует при таких обстоятельствах, вырубить лес и оставить этот участок. Но рассмотрение экстерналий может изменить наше представление об управлении таким участком.

Чтобы проиллюстрировать некоторые свойства решения Фаустмана перепишем последнее уравнение явно подставив цену земли . Тогда мы найдем альтернативную версию условия Фаустмана:

Правая часть уравнения является убывающей функцией периода ротации Т.

По мере увеличения Т, значение функции сверху приближается к процентной ставке. Левая часть уравнения может быть интерпретирована как относительный уровень роста чистых доходов от лесозаготовки. Для иллюстрации приведем на графике подобный уровень роста, основанный на доходности для сосны Дугласа. Возраст заготовки это значение Т при котором эти две кривые пересекаются. В решении темп роста немного выше процентной ставки. Условие второго порядка указывает, что для пересечения, которое соответствует максимуму, а не минимуму, кривая темпа роста должна пересекать кривую сверху слева, как это показано на графике.

Сравнительные характеристики легко продемонстрированы с помощью графика ниже. При положительных издержках регенерации, более высокий уровень цен приводит к более короткому периоду ротации. Что бы понять это надо заметить, что более высокий уровень цен сдвигает кривую относительного темпа роста вниз. Результатом чего является пересечение с кривой при меньшем возрасте. Аналогично, более высокий уровень издержек сдвигает кривую относительного темпа роста вверх, приводя к более позднему возрасту заготовки. Более высокое значение процентной ставки увеличивает значение и приводит к более короткому периоду заготовки. Эти результаты могут быть легко продемонстрированы путем дифференцирования необходимого условия первого порядка. Без учета издержек, решение (назовем его при котором ) не зависит от уровня цен.

С положительными издержками, период ротации Фаустмана выше и приближается к этому пределу по мере роста цен относительно издержек. Наибольший возможный возраст лесозаготовки по Фаустману тот, при котором . Эта верхняя граница отражает предел прибыльности при котором высокие издержки или низкие цены отражаются в равенстве цены земли нулю.

Условные модели лесного менеджмента не отражают стоимость услуг, обеспечивающихся напрямую стоящим лесом. Недостаточность рыночных сигналов для неоцененных благ, приносимых лесом, является сердцем проблемы планирования многоцелевого использования леса и аргументом в пользу общественного менеджмента. Хартман отреагировал на дискуссию Самуэльсона обобщением проблемы Фаустмана. Он рассматривал один единовозрастный древостой и полагал, что стоимость услуг может быть выражена, как функция от возраста древостоя.

К основной проблема Фаустмана, Хартман добавил поток стоимости услуг, связанных с возрастом леса. Поток прибыли от акра стоящего леса возраста n обозначен a(n). Интеграл тогда обозначает приведенную стоимость удобств от одного цикла заготовки периодом Т. Начиная с одного незасеянного акра, проблема состоит в выборе возраста лесозаготовки, который максимизирует комбинированную приведенную стоимость лесных и нелесных доходов от текущего и будущих циклов заготовки. Снова представляя это максимизируемое значение , проблема будет состоять в следующем:

где Р - чистая цена, объем V(T), и издержки С.

Решение Хартмана должно удовлетворять условию первого порядка:

Это условие очень похоже на аналогичное для задачи Фаустмана, и интерпретируется так, что начало вырубки происходит в период, когда предельная выгода от откладывания заготовки в точности равняется альтернативным издержкам. Выгоды от задержки лесозаготовки включают увеличение стоимости от роста леса плюс поток от доходов от удобств в течение периода задержки. Издержки включают упущенный процентный доход от отложенных поступлений от вырубки, плюс упущенный процентный доход от удаления будущих заготовительных циклов. Эта часть может быть интерпретирована, как рентная плата за пользование землей. Это сейчас отражает цену земли для леса и сопутствующих услуг. Заготовка производится, когда темп роста общей стоимости земли и древостоя становится равным ставке дисконтирования i.

Заранее невозможно сказать, что стоимость услуг a(n) будет монотонно убывающей или возрастающей. Вполне возможно, что будет несколько разных возрастов, удовлетворяющих условию первого порядка, некоторые из которых локальные минимумы или максимумы. Поэтому необходимо выполнение условия второго порядка:

При достаточно большой a(n), возрастающей по мере возрастания возраста древостоя мы не сможем найти возраста, удовлетворяющего условию первого порядка, и примем решение никогда не производить вырубку.

Если стоимость земли меньше нуля, то отказываемся от управления таким участком земли. Рассмотрение совокупности стоимости удобств и самого древостоя уменьшает вероятность возникновения подобных решений сравнительно со случаем рассмотрения только стоимости древостоя. Интересным является случай, когда стоимость удобств, связанных со стоящим лесом может оправдать решение не вырубать лес никогда. В общем, период ротации Хартмана где-то посередине периода ротации Фаустмана и возрастом, который максимизирует приведенную стоимость только удобств.

Чтобы сделать дальнейшие выводы перепишем условие первого порядка, подставив явное выражение для .

Получим:

Можно сразу заметить, что при нулевой цене удобств, коэффициент равен единице, и мы получаем условие Фаустмана. При высокой стоимости удобств и , приближающейся к нулю, решение удаляется от решения Фаустмана в сторону оптимального решения для случая отсутствия доходов от леса.

При росте стоимости удобств по мере увеличения возраста древостоя, период ротации Хартмана превышает период ротации Фаустмана. Также возможно, что при достаточно большой стоимости удобств, которые в общем случае возрастают по мере возрастания возраста древостоя, левая сторона уравнения всегда будет больше правой стороны. Это значит, что в оптимуме лес никогда не будет срублен.

Существует довольно мало примеров статей, в которых делались попытки посчитать период ротации с учетом стоимости удобств, связанных с лесом. Калиш, Файт и Тигуардин привели грубые оценки функции зависимости удобств от возраста древостоя для сосны Дугласа и нашли оптимальный период ротации. Выяснилось, что стоимость удобств оказывает незначительное влияние на оптимальное решение.