Ленюк М.П.

Чернівецький факультет НТУ «ХПІ»

Підсумовування функціональних рядів за власними елементами гібридного диференціального оператора Ейлера – (Конторовича - Лєбєдєва) на полярній вісі

Розглянемо задачу про конструкцію обмеженого на множині розв’язку сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Ейлера й Бесселя з виродженням при старшій похідній

(1)

з крайовими умовами

(2)

та умовами спряження

(3)

У системі (1) беруть участь диференціальні оператори Ейлера [1] та Бесселя [2], де Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти:

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції та [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя утворюють модифіковані функції Бесселя та [2].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє будувати розв’язок крайової задачі (1)- (3) методом функцій Коші [1,3]:

(4)

У рівностях (4) беруть участь функції Коші [1,3]:

(5)

(6)

У рівностях (5), (6) беруть участь функції:

Крайова умова в точці й умови спряження в точці для визначення величин дають алгебраїчну систему з трьох рівнянь:

(7)

У системі (7) бере участь функція

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної крайової задачі: для будь-якого ненульового вектора визначник алгебраїчної системи (7)

(8)

Визначимо головні розв’язки крайової задачі (1)-(3):

1) породжені неоднорідністю крайової умови в точці функції Гріна

(9)

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

(10)

3) породжені неоднорідністю системи (1) функції впливу

(11)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (7), підстановки одержаних значень у формули (4) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1)- (3) :

(12)

Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі (1)-(3) методом гібридного інтегрального перетворення, породженого на множені гібридним диференціальним оператором (ГДО)

(13)

- одинична функція Гевісайда [3].

ГДО самоспряжений й немає на множені особливих точок. Тому його спектр дійсний та дискретний. Цьому спектру відповідає дійсна дискретна вектор-функція.

Власні елементи ГДО (спектр та спектральну функцію) знайдемо як розв’язок спектральної задачі Штурма – Ліувілля: побудувати обмежений на множині розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь Ейлера та Бесселя

(14)

за однорідними крайовими умовами

(15)

та однорідними умовами спряження

(16)

Фундаментальну систему розв’язків для рівняння Ейлера утворюють функції та [1]; фундаментальну систему розв’язків для рівняння Бесселя утворюють функції та [2].

Якщо покласти

(17)

то для визначення крайова умова в точці й умова спряження (16) дають однорідну алгебраїчну систему з трьох рівнянь:

(18)

Алгебраїчна система (18) має ненульові розв’язки тоді і тільки тоді, коли її визначник рівний нулю [4]:

(19)

Корені трансцендентного рівняння (19) утворюють дискретний спектр [5]. Власному числу відповідає власна вектор функція

(20)

У рівності (20) беруть участь функції

(20)

Наявність вагової функції

та спектральної вектор-функції з квадратом норми

Дозволяє визначити пряме та обернене скінченне гібридне інтегральне перетворення [5]:

(21)

(22)

Єдиний розв’язок крайової задачі (1)-(3), побудований за відомою логічною схемою [5], має вигляд:

(23)

При цьому при та при

Порівнюючи розв’язки (12) та (23) в силу єдиності, одержуємо наступні формули підсумовування поліпараметричних функціональних рядів:

(24)

(25)

(26)

(27)

Підсумком викладеного вище є твердження.

Теорема. Якщо вектор-функція неперервна на множинні , функції задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3) й виконується умова (8) однозначної розв’язності крайової задачі (1)-(3), то справджуються формули (24) – (27) підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами ГДО .

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2. Ленюк М.П., Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича - Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002. – 280 с.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Физматгиз, 1963. – 431 с.

5. Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породженні диференціальними рівняннями другого порядку . – Чернівці: Прут, 2001. – 228 с.