Айсагалиев С.А., Шаназаров Д.Г.

Казахский Национальный Университет имени аль-Фараби

Алматы, Казахстан

Определение области абсолютной устойчивости регулируемых систем, описывающих процессы автоматизированных систем управления

Достижения науки и техники последних лет, освоение атомной энергетики, запуск искусственных спутников Земли, пилотируемые космические корабли были бы невозможны без использования современных принципов построения регулируемых систем. Регулируемые системы относятся к классу динамических систем с обратной связью, в котором изучается устойчивость, качества переходных процессов, динамические точности, автоколебания, проблемы синтеза и идентификации. Несмотря на то, что теория регулируемых линейных систем имеет более или менее законченный характер, теория регулируемых нелинейных систем с переменными и нелинейными параметрами разработана еще недостаточно.

Класс обыкновенных дифференциальных уравнений, рассматриваемый в данной работе, является математической моделью процессов наведения ракеты на цель, автоматической сборки космических летательных аппаратов на орбитах, динамических процессов в рулевых приводах самолетов и ракет и др., и описывает динамику регулируемых систем, правая часть которых содержит нелинейные функции из заданного множества. Такая неопределенность правой части порождает неединственность решения, что приводит к необходимости исследования групповых свойств решения системы. Одним из таких свойств является абсолютная устойчивость тривиального решения, т.е. свойства, при котором все решения, исходящие из начальной точки при любых нелинейных функциях из заданного множества, стремятся с течением времени к положению равновесия.

Постановка задачи

Рассмотрим уравнения движения регулируемой системы в простом критическом случае

, , , (1)

,

где – постоянные матрицы порядков соответственно, матрица – гурвицева, т.е. , ; , - собственные значения матрицы A.

Функция является элементом следующего множества

(2)

где – постоянная матрица порядка .

Для регулируемых систем с ограниченными ресурсами функция является элементом множества:

(3)

Поскольку , C=DA, R=DB+E, то уравнения движения (1) запишутся в виде

, , , (4)

где .

Для системы (1) положение равновесия системы определяется из решения алгебраических уравнений , , . Так как матрица A гурвицева, , то в случае, когда Е не особая матрица, система (1) имеет единственное положение равновесия (), где .

Определение 1. Говорят, что тривиальное решение системы (1), (2) (либо (1), (3)) абсолютно устойчиво, если матрицы A,

гурвицевы, где , , , и для всех (либо ) решение дифференциального уравнения (1) обладает свойством , , , .

Определение 2. Критерием абсолютной устойчивости для системы (1), (2) (либо (1), (3)) называются алгебраические или другие соотношения, связывающие матрицы , при выполнении которых тривиальное решение абсолютно устойчиво.

Предлагаются решения следующих задач:

Задача 1. Найти критерий определения области абсолютной устойчивости положения равновесия системы (1), (2);

Задача 2. Найти критерий определения области абсолютной устойчивости положения равновесия системы (1), (3).

В данной работе предлагается совершенно новый подход к абсолютной устойчивости регулируемых систем в простом критическом случае, основанный на оценке несобственных интегралов вдоль решения исходной системы. Такой подход позволяет использовать дифференциальные связи между фазовыми координатами и получить более эффективные критерии абсолютной устойчивости. Эти результаты невозможно получить известными методами (метод А.И. Лурье, частотный метод В.М. Попова) исследования регулируемых систем. В отличие от известных методов предложенный критерий легко проверяется. Эффективность предложенного подхода по сравнению с известными критериями показывается путем решения практических задач.

Литература

1. Айсагалиев С.А. К теории регулируемых и фазовых систем // АН СССР, Автоматика и телемеханика, 1987, №5. – С. 10-18.

2. Айсагалиев С.А. К теории абсолютной устойчивости регулируемых систем // Дифференциальные уравнения, Минск-Москва, 1994, т.30, №5. – С.748-757.

3. Айсагалиев С.А., Шаназаров Д.Г., Злобина Е.Б. Абсолютная устойчивость регулируемых систем в простом критическом случае // Вестник КазГНУ. 2001. №3(26). – С.109-117

4. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории регулируемых систем. – М.: Л.: Гостехиздат, 1951. – 216 с.

5. Попов В.И. Гиперустойчивость автоматических систем. – М.: Наука, 1970. – 453 с.