Технические науки. №12 Автоматизированные системы управления на производстве

Темченко А.Г., Тытюк В.К., Луценко Н.И.

Криворожский технический университет

Влияние статистических характеристик продолжительности процесса преобразования на показатель эффективности

Благодаря получившей в последнее время развитие общей теории эффективности процессов преобразования ресурсов стало доступным формализованное математическое определение таких важных показателей как ресурсоемкость процесса преобразования и показатель эффективности такого процесса. Однако в известных работах отсутствует анализ влияния на ресурсоемкость и показатель эффективности неизбежно существующих вероятностных процессов на входе и выходе процесса преобразования. В работе решена задача оценки математического ожидания и дисперсии показателя эффективности процесса преобразования ресурсов при известных числовых характеристиках распределения длительности процесса преобразования.

В основополагающих работах по теории эффективности процессов преобразования ресурсов, [1, 2, 3] разработан универсальный технико-экономический критерий оценки разнообразных технологических процессов – показатель эффективности преобразования ресурсов. Применение этого критерия позволяет органично согласовать работу технологического процесса с работой систем управления более высокого иерархического уровня, обеспечивает максимально возможный темп развития предприятия в целом.

В [1] получены аналитические выражения для вычисления показателя эффективности преобразования ресурсов в ходе технологического процесса. В наиболее простом случае это выражение имеет вид:

1

где - стоимостные показатели выходного и входного продуктов преобразования; - длительность процесса преобразования.

Использование оптимальных систем управления технологическими процессами, максимизирующих показатель эффективности процесса преобразования, позволяет снизить удельные затраты на получение готовой продукции, обеспечить заметное повышение темпов роста предприятия, [3].

Из [1] известно, что для эффективного процесса преобразования выполняется условие . Используя это неравенство, можно записать выражение , где - показатель результативности процесса преобразования. Числовое значение этого показателя строго больше единицы. С учетом этого, выражение (1) для показателя эффективности можно записать в виде:

2

Случайная величина в общем случае является функцией двух случайных величин. Нам необходимо оценить числовые характеристики этой случайной величины при условии что мы располагаем информацией о законах распределения случайных аргументов.

Предположим, что время преобразования является неслучайной величиной, тогда рассматриваемая задача упростится и сведется к одномерному случаю.

На рис.1. представлен внешний вид зависимости показателя эффективности от длительности процесса преобразования при неслучайном аргументе .

Рис.1. Зависимость показателя эффективности от длительности процесса преобразования.

Рассмотрим задачу определения закона распределения показателя эффективности при заданном законе распределения показателя результативности . Анализ показывает, что зависимость является монотонно убывающей. В [4] получены общие выражения для определения закона распределения монотонной функции одного случайного аргумента. Применительно к решаемой задаче, искомый закон распределения может быть определен из выражения:

3

где - функция, обратная функции , заданной выражением [2].

На рис.2 приведены зависимости плотности распределения и интегральной функции распределения показателя эффективности при случайном характере длительности процесса преобразования с равномерным распределением в диапазоне и =1,3.

Из приведенного рисунка видно, что функция распределения показателя эффективности не является равномерной.

Для практических потребностей иногда вполне достаточно знать только числовые характеристики распределения показателя эффективности, что значительно упрощает решение поставленной задачи.

Рассмотрим задачу определения числовых характеристик функции одного случайного аргумента при известном законе его распределения.

Рис.2. Плотность распределения и интегральная функция распределения показателя эффективности для случая равномерного распределения длительности процесса преобразования

Имеется случайная величина с известным законом распределения ; другая случайная величина, , связана с функциональной зависимостью . В рассматриваемой задаче конкретный вид этой зависимости задается выражением [2]. Тогда, согласно [4], математическое ожидание функции одного случайного аргумента можно определить по формуле:

4

Дисперсия функции одного случайного аргумента

5

По определению плотности вероятности интеграл во втором слагаемом равняется 1. Третье слагаемое этой формулы совпадает с общей формулой (4) вычисления математического ожидания. Получим

6

Выполняя интегрирование в (13) после несложных преобразований получим:

7

Как показала численная проверка полученных выражений математическое ожидание показателя эффективности при равномерном распределении показателя результативности на отрезке не совпадает со значением показателя эффективности, рассчитанному по уравнению (1) в центре отрезка распределения.

Получены аналитические выражения для математического ожидания и дисперсии, а также закона распределения показателя эффективности при равномерном законе распределении длительности процесса преобразования.

Литература.

1. Луценко И.А. Технологии эффективного управления. ПП «Видавничий дiм», 2004г., 152 с.

2. Луценко И.А. Показатель ресурсоемкости технологического процесса.// Iнформацiйнi системи i моделювання. - Кременчук. КДПУ, - Вип.2(11). 2004. - 303 - 37.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей., М., 1969 г., 576 с., илл.

4. Закладний О.М., Праховник А.В., Соловей О.I. Енергозбереження засобами промислового електропривода: Навчальний посібник. – К: Кондор, 2005. – 408с.