Лисенко В.В.

Запорізькій національний університет, Україна

Застосування методу Ліндштедта-Пуанкаре
при дослідженні вимушених нелінійних коливань
механічних систем з демпфіруванням

 

В роботі розглядається застосування методу Ліндштедта-Пуанкаре [1] при наближеному аналітичному розв’язанні задач Коші, які описуються нелінійними диференціальними рівняннями другого порядку у вигляді (1). До розв’язання нелінійних рівнянь зводиться, наприклад, процес розв’язання задачі о коливаннях прямокутної пластини методом Бубнова-Гальоркіна [2]. Методика розглядається як доповнення до гібридного підходу [3-5] до асимптотичного розв’язання рівнянь з параметрами.

Розглянемо вимушені нелінійні коливання механічної системи з однією ступеню вільності, яка описується нелінійним неоднорідним диференційним рівнянням другого порядку вигляду [6, 7]

 

                      .                      (1)

 

де  – шукана функція, яка характеризує відхилення системи від початку координат;  – зовнішня сила;  – "малий" параметр; c – коефіцієнт демпфірування.

Шукана функція f на початку цього відрізка задовольняє деяким початковим умовам. Будемо розглядати тільки такі задачі Коші, для яких розв’язок існує, і він єдиний.

Розглянемо, спочатку, випадок без демпфірування, тобто . В основі методу Ліндштедта-Пуанкаре лежить ідея, почерпнута з наступного спостереження: нелінійність змінює частоту коливань системи від значення , що відповідає лінійній системі, до , що відповідає нелінійній системі . Щоб урахувати цю зміну частоти, Ліндштедт ввів нову змінну у вигляді [1]:

 

                                                         ,                                                        (2)

 

та розклав w та f по степеням параметру α:

 

                                           ,                                           (3)

                                          ,                                          (4)

 

де  – частота коливань лінійної системи без урахування демпфірування.

Підставляючи розклади (3), (4) в рівняння (1), та прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях α, одержимо систему рівнянь для визначення невідомих функцій , при чому

 

                 (5)

                             ,                             (6)

 

де ,  – дійсні постійні інтегрування.  та  визначаються з умов відсутності секулярних членів у розв’язку f.

Тепер розглянемо вимушені нелінійні коливання механічної системи з демпфіруванням, тобто . При наявності демпфірування цю методику також можна застосувати, та розклавши w по степеням параметру α наступним чином:

 

                                       ,                                       (7)

 

де  – частота коливань лінійної системи з урахуванням демпфірування:

 

                                                   .                                                  (8)

 

Загальний розв’язок  буде

 

                                    (9)

 

або в тригонометричному вигляді

 

                                                 (10)

 

де (к.д.) – комплексно спряжений доданок, C – комплексна постійна інтегрування, ,  – дійсні постійні інтегрування, при чому

 

                             ,                           (11)

                         ,  .                       (12)

 

Результати одержані у випадку коли всі коефіцієнти вихідного рівняння ти зовнішня сила є постійні. Але отримані формули можна використовувати і у випадку, коли коефіцієнти вихідного рівняння та зовнішня сила є функціями часу. Напевно це має сенс, коли ці функції є повільно змінними (повільно по відношенню до природної одиниці часу - періоду власних коливань), тобто при , де  - малий параметр. Нелінійні задачі динаміки, розв’язані авторами із застосуванням запропонованої методики, підтверджують правильність цього припущення.

 

Література

1. Найфе А.Х. Методы возмущений / А.Х. Найфе; пер. с англ. – М. : Мир, 1976. – 456 с.

2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Вольмир. – М. : Наука, 1972. – 432 с.

3. Noor A.K. Reduced basis technique for nonlinear analysis of structures / Noor A.K., Peters J.M. // Proc. of the AIAA-ASME-ASCE-AHS 20th Structures, Structural Dynamics and Materials conference, St. Louis, USA, 1979. – P. 116 – 126.

4. Gristchak V.Z. A hybrid WKB-Galerkin method and its application / Gristchak V.Z., Dmitrijeva Ye.M. // Technishe Mechanik. – 1995. – №3. – Р. 281-294.

5. Geer J.F. A hybrid peturbation-Galerkin technique for differential equations containing a parameter / Geer J.F., Andersen C.M. // Applied Mechanics Reviews. – 1989. – №42(11). – P. S69-S77.

6. Gristchak V.Z. WKB-Galerkin method with application to the correlation analysis of stochastic behaviour of non-linear systems with time-depended parameters / Gristchak V.Z., Lysenko V.V. // Computational Stochastic Mechanics, proceedings of the fourth international conference on computational stochastic mechanics 9-12 june 2002, Corfu, Greece. – Rotterdam: Millpress (Netherlands), 2003. – P. 243-248.

7. Gristchak V.Z. Non-linear stochastic vibration problems for the plates with time-dependent parameters / Gristchak V.Z., Lysenko V.V. / ICTAM-2004 : 21st international congress of theoretical and applied mechanics, 15-21 august 2004, Warsaw, Poland. – Warsaw (Poland), 2004. – P. 367.