C.Г. Блажевський, М. П. Ленюк

Чернівецький національний університет ім.. Ю. Федьковича

ПІДСУМОВУВАННЯ ФУНКЦІОНАЛЬНИХ РЯДІВ ЗА ВЛАСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ГІБРИДНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ФУР’Є – БЕССЕЛЯ – (КОНТОРОВИЧА - ЛЄБЄДЄВА) НА ПОЛЯРНІЙ ОСІ

Побудуємо обмежений на множині

розв’язок сепаратної системи модифікованих диференціальних рівнянь Фур’є, Бесселя та (Конторовича - Лєбєдєва)

(1)

за крайовими мовами

, (2)

та умовами спряження

(3)

У рівностях (1) беруть участь диференціальні оператори Фур’є [1], Бесселя , [2] та диференціальний оператор (Конторовича - Лєбєдєва) [3]; , .

Вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти:

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є складають функції та [1]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя складають модифіковані функції Бесселя першого роду та другого роду [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння (Конторовича - Лєбєдєва) складають модифіковані функції Бесселя першого роду та другого роду [3].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дає можливість побудувати розв’язок крайової задачі (1) – (3) методом функцій Коші [1,4]:

(4)

У рівностях (4) - функції Коші [1,4]:

(5)

(6)

(7)

У рівностях (5) - (7) беруть участь функції:

Інші функції загальноприйняті [3,5].

Крайова умова в точці та умови спряження (3) для визначення величин та дають неоднорідну алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

(8)

У системі (8) беруть участь функції

.

та символ Кронекера .

Введемо до розгляду функції:

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1) - (3): визначник алгебраїчної системи (8)

(9)

для будь-якого вектора .

Визначимо головні розв‘язки крайової задачі (1) – (3):

1) породжені крайовою умовою в точці функції Гріна

(10)

2) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

, ,

(11)

3) породжені неоднорідністю системи функції впливу

(12)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (8) в силу умови (9) та підстановки отриманих значеньтамаємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3):

(13)

Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі (1) – (3) методом скінченного гібридного інтегрального перетворення (СГІП), породженого на множині гібридним диференціальним оператором (ГДО)

(14)

- одинична функція Гевісайда [4].

Оскільки ГДО самоспряжений і на множині не має особливих точок, то його спектр дійсний та дискретний.

Означення. Областю визначення ГДО назвемо множину G вектор-функції з такими властивостями:

1) вектор-функція неперервна на множині ;

2) функції задовільняють крайові умови (15)

3) функції задовільняють умови спряження

(16)

Якщо - власне число ГДО , то йому відповідає власна (спектральна) вектор-функція

Функції повинні задовільняти відповідно диференціальні рівняння

(17)

крайові умови (15) та умови спряження (16): , , .

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є складають тригонометричні функції та [1]: фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя складають функції Бесселя та [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння (Конторовича - Лєбєдєва) складають функції та [3].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дає нам можливість зобразити функції [1]:

,

, (18)

Виконуючи крайову умову в точці та умови спряження (16), одержуємо однорідну алгебраїчну систему з п’яти рівнянь:

(19)

Алгебраїчна система (19) має ненульові розв’язки тоді і тільки тоді, коли її визначник рівний нулю [6].

Введемо до розгляду функції

Визначник системи (19)

(20)

Для знаходження власних чисел ГДО маємо трансцендентне рівняння . (21)

Відомо [7], що корені трансцендентного рівняння (21) утворюють дискретний спектр: дійсні, різні, симетрично розташовані відносно і на півпрямій складають монотонну зростаючу числову послідовність з єдиною граничною точкою .

Підставимо в систему (19) . Покладемо , де підлягає визначенню. Відкинемо останнє рівняння в силу лінійної залежності. Розглянемо алгебраїчну систему стосовно :

(22)

Визначник алгебраїчної системи (22)

Алгебраїчна система (22) має єдиний розв’язок [6]:

(23)

При відомих розглянемо алгебраїчне рівняння для :

Звідси знаходимо, що

, при (24)

Підставивши згідно формул (23) та (24) визначені величини та у рівності (18), одержуємо структуру функцій :

(25)

Отже, спектральна функція стає відомою.

Визначимо квадрат норми власної функції:

(26)

Тут бере участь вагова функція

(27)

Згідно з роботою [7] маємо твердження

1) система власних функцій ГДО ортогональна на множині з ваговою функцією , повна і замкнена;

2) будь-яка вектор-функціязображається за системою абсолютно й рівномірно збіжним на рядом Фур’є

(28)

Якщо в рівності (28) перейти до ортонормованої системи

,

то ряд Фур’є (28) набуде вигляду:

(29)

Ряд Фур’є (29) визначає пряме та обернене СГІП типу Фур’є – Бесселя – (Конторовича - Лєбєдєва), породжене на множині ГДО :

, (30)

(31)

Єдиний розв’язок крайової задачі (1) – (3), побудований за відомою логічною схемою методом запровадженого формулами (30), (31) СГІП [5], має структуру:

(32)

У формулах (32) беруть участь величини та функції:

Порівнюючи розв‘язки (13) та (32) в силу єдиності, отримуємо наступні формули підсумовування функціональних рядів:

(33)

(34)

(35)

(36)

Зауваження 1: Якщо , то , ; якщо , то і ; якщо , то і .

Зауваження 2: Праві частини в рівностях (33) – (36) не залежать від нерівностей . Тому при необхідності можна покласти . У цьому випадку .

Висновком наведеного в даній роботі дослідження є твердження.

Основна теорема: Якщо вектор-функція неперервна на множині , функції задовiльняють крайові умови (2) та умови спряження (3) і виконується умова (9) однозначної розв’язності крайової задачі (1) - (3), то справджуються формули (33) - (36) підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами ГДО , визначеною рівністю (14).

Література:

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.:Физматгиз, 1959. – 468с.

2. Ленюк М.П. Исследование основних краэвых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

3. Ленюк М.П. Міхалевська Г.І. Інтегральні перетворення типу Конторовича – Лєбєдєва. – Чернівці: Прут, 2002 – 280 с.

4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.- М.: Наука, 1965.-328с.

5. Ленюк М.П. Підсумовування поліпараметричних функціональних рядів за власними елементами гібридних диференціальних операторів (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том VI. – Чернівці: Прут, 2006. – 376 с.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.- М.: Наука, 1971.-432с

7. Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. – Чернівці: Прут, 2001. – 228 с.

Ленюк Михайло Павлович вул. Головна 191, кв.15

м. Чернівці

Україна

58018

Тел. 0958589952