Алтибаев Э.Х., Ниматуллаев И.А.

Наваийский Государственный Горный Институт

ЛИНЕЙНАЯ ДИСКРЕТНАЯ ИГРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ

ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Аннотация. Изучается линейная дискретная игра преследования в случае, когда на вектор управления игроков наложены суммарные ограничения. Найдены достаточные условия для разрешимости задачи преследование, когда матрица линейности имеет диагональную форму.

Изучению линейных дискретных управляемых систем посвящено много работ. В работе [1] рассматривались линейные дискретные игры со многими преследователями, и предложены достаточные условия, а в случае одного преследователе – необходимые условия для возможности завершения преследования из всех точек пространства, когда на управление убегающего суммарное ограничение. В работе [2] выяснена структура области достижимости и управляемости линейных дискретных управляемых систем при различных ограничениях на управление в случае, когда область управления одномерна и удовлетворяет условию Кальмана. Подобные модели возникают, например, в технике при исследовании импульсных управляемых систем (где управляющие сигналы могут быть ограничены по величине или интегрально.

В настоящей работе изучаются линейная дискретная игра преследования, когда на вектор управления игроков наложены суммарные ограничения. (Под этим понимается дискретный аналог интегрального ограничения [2]).

Рассмотрим следующую дискретную игру

, (1)

где номер шага – постоянные матрицы соответствующих размерностей, управляющий параметр преследователя, – управляющий параметр убегающего.

В процессе движения значения вектора управления преследователя должны удовлетворять условию

(2)

а значения управления убегающего – условию

(3)

где . Условию (3) естественно назвать суммарным ограничением.

Цель задачи преследования для игры (1)-(3) состоит в осуществлении равенства при некоторым где траектория, являющаяся решением уравнения (1) с определенным начальным условием , когда игроками выбраны какие-то конкретные способы управления параметрами и . А цель убегающего – противоположная.

Последовательность назовем управлением убегающего игрока, а отображение – стратегией преследователя. Траектория , порождаемая начальным состоянием , стратегией и управлением , определяется как решение задачи Коши

По определению, в игре (1)-(3) из точки можно завершить преследование, если существует стратегия преследующего игрока такая, что для каждого управления траектория , порождаемая и , удовлетворяет условию при некотором .

Будем предполагать, что . Тогда имеют место

Теорема 1. Если , то в игре (1)-(3) из некоторых начальных точек пространство невозможна завершить преследование.

Теорема 2. Если , то в игре (1)-(3) из всех начальных точек пространство возможна завершить преследование.

Теорема 3. Если и , то в игре (1)-(3) из всех начальных точек пространство возможна завершить преследование.

Из теоремы 1-3 вытекает

Теорема 4. Если , то в игре (1)-(3) из всех начальных точек пространство возможна завершить преследование тогда и только тогда, когда .

Литература:

1 .Ибрагимов Г.И. О задачах линейной дискретной игры преследования.// Математические заметки, Т. 77, №.5, 2005. Москва. с. 707-718.

2. Сиротин А.Н., Формальский А.М. Области достижимости и управляемости линейных управляемых систем. // Известия академии наук. 1996. 304 p.