Математика /4. Прикладная математика/
Рябоштан А.Ф., к.т.н.
Миленин А.Н.
Харьковский национальный
технический университет сельского хозяйства
имени П. Василенка
Конструирование порций поверхности второго порядка гладкости
Применение переходных функций позволяет построить поверхности высокой гладкости, составленные из четырёхугольников (порций) поверхности. Построение таких поверхностей необходимо и находит широкое применение в конструировании лопаток газовых турбин. Однако наличие переходных функций приводит к увеличению количества вычислений, вводит в уравнение поверхности целый набор функций от различных параметров, совместное влияние которых на окончательные геометрические характеристики поверхности трудно предугадать.
Составим
уравнение поверхности, инциндентной заданному пространственному
четырёхугольнику, ребра которого имеют оснащение до 2-го порядка включительно.
Рассмотрим
задачу. Пусть заданы ребра порции поверхности (u, 0), (u, 1), (0, v), (1, v). Составим уравнение каркаса линий
для одной координаты 
:
, (1)
где а
и b – функции
от v.
Из
(1) при u = 0 и u = 1 получим два уравнения:
(2)
Откуда
; 
; 
(3)
Уравнение
(1) имеет вид:
, (4)
или в виде
определителя:
(5)
Нетрудно
видеть, что при u = 0, (0, v) = (0, v); u = 1, (1, v) = (1, v); v = 0, (u,0) = (u, 0); v = 1, (u, 1) = (u, 1), то
есть выполнение заданных граничных условий гарантируется.
Уравнение, аналогичное (5), для множества координат
узлов сетки поверхности было получено и исследовано применительно к обводам в
Рассмотрим
оснащение четырехугольника первым производим по нормам к границе. Согласно
обобщенному алгоритму дифференциально-параметрического метода составим систему
уравнений, аналогичную (2) и отражающую условие инциндентности ребрам ячейки и
дифференциальным условиям на границе. Решение системы в виде определителя даёт
уравнение порции поверхности.
, (6)
где 
.
Функции
, 
, 
, 
должны удовлетворять
требованиям совместимости значений в узлах порции поверхности. В частности их
можно конструировать при помощи полинома, обеспечивающего ненулевые значения
смешанных производных в углах.
Непосредственной
проверкой убеждаемся в инциндентности полученной поверхности ребрам
четырехугольной порции поверхности. Проверим выполнение дифференциальных
условий. Дифференцируем (6) по u.
(7)
При
u = 0 имеем =; при u = 1, =; при v = 0, 
=; при v = 1, 
=.
Аналогично дифференцируем
по v и убеждаемся в том, что при v = 0 имеем =; при v = 1, =; при u = 0, 
=; при u = 1, 
=.
Дальнейшее обобщение (6)
приводит к уравнению порции поверхности, обеспечивающему ІІ порядок гладкости на стыке.
, (8)
где 
.
Функции
, 
, 
, 
должны удовлетворять
условиям совместимости значений в узлах отсека. Их можно принять в виде (6),
если допускаются в узловых точках нулевые значения частных производных по
параметрам, или, в противном случае, сконструировать с помощью полинома.
Очевидно,
что порция поверхности (8) инциндентна заданному четырехугольнику. Проверим
выполнение дифференциальных условий.
Дифференцируем
(8) по u. Функции в первой строке
определителя заменяются их производными по u.
. (9)
Убеждаемся, что при u = 0 имеем =; при u = 1, =; при v = 0, =; при v = 1, =.
Аналогично можно продифференцировать (8) по v и убедиться в выполнении соответствующих начальных условий.
Проверим выполнение смешанных производных, для чего дифференцируем (9) по v. При этом функции первого столбца заменяются на производные по v.
Убеждаемся, что при u = 0 имеем 
=; при u = 1, 
=; при v = 0, 
=; при v = 1, 
=.
Подставкой соответствующих значений u и v в полученное уравнение, убеждаемся в выполнении дифференциальных условий второго порядка гладкости на границах порции поверхности.