УДК 517.91:532.2

Нікітіна О.М.

 

Чернівецький факультет НТУ „ХПІ

 

Скінченні гібридні інтегральні перетворення типу Фур’є-Ейлера

 

          Знайдемо власні елементи (спектр й відповідну йому спектральну функцію) гібридного диференціального оператора (ГДО)                                                                 .                    (1)

          У рівності (1) aj > 0, q(x) – одинична функція Гевісайда, Ba – диференціальний оператор Ейлера [1]

 , 2a + 1 > 0.

         За область визначення ГДО Ma приймемо множину G вектор-функцій g(r) = {g1(r); g2(r)} з такими властивостями: 1) вектор функція f(r) =  {(r); Ba[g2(r)]} неперервна на множині I1 = {r: r Î (R0, R1)  (R1, R2); R0 ³ 0, R2 < ¥}; 2) функції gj(r) задовольняють крайові умови

                , ;                   (2)

3)  функції gj(r) задовольняють умови спряження

             , j = 1, 2.                (3)

          Ми вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти: , ,  ³ 0,  ³ 0,  ³ 0,  ³ 0, || + || ¹ 0,  ¹ 0, с11 × c21 > 0, cj1 = , j, k = 1, 2.

          Якщо для u(r) Î G та v(r) Î G визначити скалярний добуток

          (u(r), v(r)) = ,  (4)

то безпосередньо перевіряється, що ГДО Ma самоспряжений. Отже, його власні числа дійсні. Оскільки оператор Ma на множині I1 не має особливих точок, то його власні числа bn утворюють дискретний спектр [2]: дійсні, різні, симетричні відносно точки b = 0 й на піввісі b > 0 складають монотонно зростаючу числову послідовність з єдиною граничною точкою b = ¥. Можна вважати, що ГДО Ma володіє системою власних чисел .

          У рівності (4) бере участь вагова функція

s(r) = s1q(r – R0)q(R1 – r) + s2 r2a – 1q(r – R1)q(R2 – r), , .

          Для побудови власних вектор-функцій оператора Ma розглянемо задачу Штурма-Ліувілля: побудувати на I1 відмінний від тотожного нуля обмежений розв’язок системи диференціальних рівнянь

            , r Î (R0, R1),            

                 , r Î (R1, R2),   ³ 0, j = 1, 2,                    (5)

за крайовими умовами (2) та умовами спряження (3), в яких g1(r) º Va, 1(r, b), g2(r) º Va, 2(r, b).

          Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є (d2/dr2 + )v = 0 утворюють функції v1(r, b) = cos[b1(b)r] º cosb1r  та v2 = sin[b1(b)r] º sin b1r; фундаментальну систему розв’язків  для рівняння Ейлера (Ba + )v = 0 утворюють функції v1 = r–acos[b2(b)ln r]  та v2 = r–asin[b2(b)ln r]  [1].

          Якщо покласти

                                 Va, 1(r, b) = A1cos b1 r + B1sin b1 r,

                        Va, 2(r, b) = A2r–acos[b2 ln r] + B2r–asin[b2 ln r],                           (6)

то крайові умови (2) й умови спряження (3) для визначення величин Aj та Bj (j = 1, 2) дають  однорідну лінійну алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:

                                     ,

          , j = 1, 2,    (7)

                              .

          У системі (7) беруть участь функції:

          ,

          ,

          ,

          .

          Алгебраїчна система (7) має ненульові розв’язки тоді й тільки тоді, коли її визначник

                            da(b) º d21(b)da,12(b) – d11(b)da,22(b) = 0.                               (8)

          Тут прийняті позначення:

                 dj1(b) = , j = 1, 2,

             da, j2(b) = .

          Корені bn трансцендентного рівняння (8) і утворюють дискретний спектр ГДО Ma.

          Підставимо в систему (7) b = bn () й відкинемо останнє рівняння в силу лінійної залежності. Покладемо A1 = A0, B1 = – A0, де A0 підлягає визначенню. Для визначення A2, B2 одержуємо неоднорідну алгебраїчну систему з двох рівнянь:

                 , j = 1, 2.                    (9)

          Визначник системи (9) дорівнює c21b2n ¹ 0. При A0 = c21b2n із системи (9) однозначно знаходимо A2 та B2 й підставляємо в рівності (6). В результаті маємо функції:

            Va,1(r, bn) = ,

              Va,2(r, bn) = ,          (10)

             , j =1, 2.

          Визначимо власну (спектральну) вектор-функцію ГДО Ma

                          Va(r, bn) =                            (11)

та її квадрат норми

              

                      =  + .                       (12)

          Згідно з роботою [2] маємо твердження.

          Теорема 1 (про спектральну функцію). Система власних вектор-функцій  ортогональна з ваговою функцією s(r), повна й замкнута.

          Теорема 2 (про зображення рядом Фур’є). Будь-яка вектор-функція g(r) Î G зображається абсолютно й рівномірно збіжним на множині I1  рядом Фур’є за системою :

                         .                          (13)

Ряд Фур’є (13) визначає пряме Ha, 1 та обернене  інтегральне перетворення, породжене на множині I1 ГДО Ma:

                                            

                   ,                    (14)

                        .                         (15)

Теорема 3 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція g(r) Î G, задовольняють крайові умови

               ,                 (16)

та умови спряження

            , j = 1, 2,             (17)

 то справджується основна тотожність інтегрального перетворення ГДО Ma:

           –  +

+  + ,         (18)

                       , i = 1, 2.                             

Логічну схему застосування запровадженого формулами (14), (15) та (18) інтегрального перетворення типу Фур’є-Ейлера покажемо на типовій задачі дифузії.

Задача квазістатики. Побудувати в області D1 = {(t, r): t  Î (0, ¥), r Î I1 º (R0, R1)  (R1, R2); R0 ³ 0, R2 < ¥} обмежений розв’язок сепаратної системи диференціальних рівнянь параболічного типу [3]

                           , r Î (R0, R1)

                          , r Î(R1, R2)                           (19)

за початковими умовами

             u1(t, r)|t = 0 = g1(r), r Î (R0, R1), u2(t, r)|t = 0 = g2(r), r Î (R1, R2),              (20)

крайовими умовами

          ,          (21)

та умовами спряження

          , j = 1, 2.       (22)

          Розв’язання. Запишемо систему (19) й початкові умови (20) у матричній формі:

              , .               (23)

          Оператор Ha,1 згідно правила (14) зобразимо у вигляді операторної матриці-рядка:

                  .               (24)

          Застосуємо операторну матрицю-рядок (24) до задачі (23) за правилом множення матриць:

=+

+  +  º

º , , , , .

          Припустимо, що max{; } = . Покладемо  = 0,  ³ 0. Тоді

                      .

          Безпосередньо перевіряється, що розв’язком задачі Коші (25) є функція

              .           (26)

          Визначимо головні розв’язки параболічної задачі (19) – (22): 1) породжені неоднорідністю системи (початкових умов) функції впливу

          , j, k = 1, 2,      (27)

2) породжені крайовими умовами (21) функції Гріна

          , j = 1, 2,    (28)

     , j = 1, 2,  (29)

3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

          , i, j = 1, 2.     (30)

          Оператор  як обернений до (24) зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця:

                              .                          (31)

          У результаті застосування за правилом множення матриць операторної матриці-стовпця (31) до матриці елементу [], де функція  визначена формулою (26), отримуємо єдиний розв’язок задачі дифузії (19) – (22):

                uj(t, r) =  +

                +  +

                        +  +

                 + , j = 1, 2,             (32)

де d+(t) –дельта-функція, зосереджена в точці t = 0+.

          За наведеною вище логічною схемою будуються розв’язки відповідних задач статики та динаміки.

          Зауваження. При max{; } =  > 0 треба покласти  = 0,  ³ 0. Замість () буде вираз (). При цьому b1n = , b2n = .

 

 

1.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз,

     1959.-468 с.

2.     Комаров Г.М.,  Ленюк М.П.,  Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. – Чернівці: Прут, 2001.-228 с.

3.     Тихонов А.Н., Самарський А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.-735с.