Шинкарик М.І.

Тернопільський національний економічний університет

Обчислення невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора Фур’є – Ейлера на полярній вісі

Побудуємо обмежений на множині розв’язок сепаратної системи модифікованих диференціальних рівнянь Фур’є та Ейлера

(1)

за умовами спряження

(2)

та крайовими умовами

(3)

У рівностях (1) - (3) - диференціальний оператор Ейлера [1].

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є утворюють функції та [1]. Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера утворюють функції та [1].

Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє будувати розв’язок крайової задачі (1)- (3) методом функцій Коші [1,2]:

(4)

(5)

Тут - функції Коші [1,2]:

(6)

де .

Визначимо функції:

Безпосередньо перевіряється, що функції Коші:

(7)

(8)

Умови спряження (2) та крайова умова в точці для визначення

величин та дають алгебраїчну систему рівнянь:

(9)

У системі (9) бере участь функція

Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності крайової задачі (1) – (3): визначник алгебраїчної системи (9)

(10)

Введемо до розгляду головні розв’язки крайової задачі (1) – (3):

1) породжені неоднорідністю системи (1)функції впливу

(11)

2) породжені крайовою умовою в точці функції Гріна

(12)

3) породжені неоднорідністю умов спряження функції Гріна

(13)

У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (9), підстановки одержаних значень , та у рівності (4) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (1) - (3) :

(14)

Побудуємо розв’язок крайової задачі (1) - (3) методом гібридного інтегрального перетворення типу Фур’є – Ейлера [3]:

(15)

(16)

(17)

У рівностях (15) – (17) беруть участь функції:

Інші величини та функції загальноприйняті [4].

Єдиний розв’язок крайової задачі (1) - (3), побудований за відомою логічною схемою [4] методом інтегрального перетворення, визначеного формулами (15) – (17), описують функції:

(18)

Порівнюючи розв’язки (14) та (18) в силу єдності, маємо наступні формули обчислення поліпараметричних невласних інтегралів за власними елементами гібридного диференціального оператора:

(19)

(20)

(21)

(22)

У рівностях (18) – (22) якщо ( ), або якщо ( ). Можна покласти (), звужуючи при цьому сім’ю невласних інтегралів.

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.

3. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368 с.

4. Ленюк М.П. Обчислення невласних інтегралів методом гібридних інтегральних перетворень (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Том V. – Чернівці: Прут, 2005. – 368 с.