математика №5
Н.Б. Андрейшина, ОКВНЗ «ІП «Стратегія»,
Жовті Води
І.О. Іваненко, ОКВНЗ «ІП «Стратегія», Жовті Води
ОПТИМАЛЬНИЙ ВИБОР ЦІНИ ЯК ФУНКЦІЇ ЧАСУ
Попит і пропозиція являються фундаментальними поняттями
економіки та відображають процеси на ринку. Це два важливі поняття, за
допомогою яких описується взаємодія продавців і покупців, кожен з яких прагне
максимально повністю задовольнити свої потреби.
Визначення кількісної трактовки попиту та пропозиції
являється необхідною умовою їх дослідження. Під попитом на певний товар будемо
розуміти кількість товарів та послуг, яку споживачі готові купувати по певній ціні за певний проміжок часу. Під
пропозицією будемо розуміти кількість товарів та послуг, яку виробники бажають
та готові виробити по певній ціні за певний проміжок часу.
Покупці певного товару завжди будуть воліти купити його
по більш низькій ціні, а продавці – продати його по більш високій. Тобто ціна
товару є одним з важливих факторів, як для попиту, так і для пропозиції, та
одночасно спільним для них обох. [1]
У відповідності з теорією попиту та пропозиції реальна
цінність товару дорівнює фактичній ціні, яка встановлюється на ринку у
відповідності з попитом та пропозицією
товару.
Мета даної роботи – побудувати математичну модель, в якій
попит та пропозиція будуть розглядатися як функції, які залежать від ціни
товару та тенденції її формування, а також перевірити
адекватність моделі на конкретному прикладі.
Нехай попит D та пропозиція S є математичними функціями ціни р та тенденції її
формування 
[2,3].
Тоді, щоб попит співпадав з пропозицією, і тим самим були
реалізовані оптимальні умови, ціна на товар не може бути довільною.
Для визначення ціни як функції часу отримаємо
диференційне рівняння:
. (1)
Задав початкові умови, отримаємо єдиний розв’язок диференційного рівняння
(1), розгляд якого як функції ціни, є необхідною і достатньою умовою для
збіжності попиту та пропозиції. Проте на практиці попит та пропозиція
задаються дискретними значеннями, причому,
в деяких випадках, під цими економічними категоріями розуміють різні
математичні об’єкти.
Нехай попит і пропозиція задані як деякі масиви:
, 
,
де 
и 
значення попиту і пропозиції в заданому проміжку часу.
В якості апроксимуючих виразів розглянемо квадратичні лінійні форми:
(2)
де 
- числові
коефіцієнти.
Для знаходження коефіцієнтів скористаємося методом найменших квадратів:
де 
, зміна ціни в 
-й період часу,
- ціна товару
в -й період часу.
Ґрунтуючись на (1) та
враховуючи, що , отримаємо диференційне рівняння:
, (3)
де 
, 
, 
, 
, 
, 
, з початковою умовою 
.
Розглянемо діяльність конкретного торгового підприємства, яке займається
продажем будівельних матеріалів. В таблиці 1 наведені дані про ціну товару, об’єм
реалізації та товарні залишки.
Таблиця 1
|
місяць |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
Ціна
товару грн |
1,14 |
1,05 |
1,05 |
1,04 |
1,04 |
1,04 |
1,09 |
1,11 |
1,15 |
1,16 |
1,14 |
1,15 |
|
Об’єм
реалізації кг |
112 |
9 |
102,5 |
98 |
85,5 |
120 |
111,5 |
102 |
108 |
97 |
105,5 |
98,5 |
|
Товарні
залишки кг |
205 |
156 |
234 |
127 |
146 |
118 |
104 |
116 |
104 |
117 |
108 |
110 |
Пропозиція формується як сума проданого і товару що залишився.
Зміна ціни: 
, так як 
.
Величина 
, так як в початковий момент часу ціна ще не сформувалася. Застосовуючи метод найменьших квадратів, визначимо коефіцієнти .
=1850,33; 
=2667,72;
=-916,71; 
=837,73; 
=-1172; 
=679,4; 
=32601,24; 
=-14211,65; 
=-17484,06; 
=14953,47; 
=6196,78; 
=15573,54.
Розв’язуючи диференційне рівняння (3) чисельним методом при початковій
умові 
, та роблячи прогноз на наступний місяць отримаємо
таблицю 2:
Таблиця
2
|
місяць |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
ціна |
1.14 |
1.15 |
1.15 |
1.16 |
1.16 |
1.16 |
1.17 |
1.17 |
1.17 |
1.17 |
1.18 |
1.18 |
1.18 |
На рис. 1 наведено графік функції 
.
Рис.2 График функции .
При відповідному трактуванні попиту та пропозиції як математичних функцій
ціни та тенденції її формування, отримана стратегія формування оптимальної ціни
необхідної і достатньої для співпадіння
попиту та пропозиції.
Для конкретного торгового підприємства при апроксимації тенденції
формування ціни першою конечною різницею отримані оптимальні ціни на кожний
місяць. Необхідно відмітити, що при побудові моделі не враховувався вплив
конкурентного оточення. Це суттєво звужує область застосування математичної
моделі та потребує подальшого доопрацювання.
Проте, модель апробувалась на підприємстві, яке є монополістом в
провінційному місті. Порівняльний аналіз існуючих цін на підприємстві та цін
отриманих теоретично дозволяє судити про адекватність теорії, що розглядається.
Це переконує в доцільності застосування запропонованої моделі.
Список використаної літератури:
1. В.Я. Иохин
Экономическая теория, введение в
рынок и микроэкономический анализ.
М.; Инфра, 1997.
2. В.В. Амелькин.
Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987.
3. Андрейшина Н.Б.,
Гоцуленко В.В. Об одном классе экономических систем обладающих предельным
циклом // Международная научно-практическая конференция “Развитие экономики в
трансформационный период”, г. Запорожье,