Ленюк М.П., Шинкарик М.І.

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,

Тернопільський національний економічний університет

Обчислення невласних інтегралів методом інтегрального перетворення Ейлера на полярній вісі та сегменті [0, R] полярної осі

 

І. Побудуємо обмежений на полярній осі  = {r: r Î (0, ¥)} розв’язок диференціального рівняння Ейлера 2-го порядку

                              (Ba – q2)u(r) = –g(r), q > 0, r Î (0, ¥).                                 (1)

          Тут Ba – диференціальний оператора Ейлера [1]

                          , 2a + 1 > 0.

          Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера (Ba – q2)v = 0 утворюють функції r–a + q та r–a – q [1].

          Якщо g(0) = const < ¥, g(¥) = const < ¥, то обмеженим розв’язком крайової задачі (1) є функція

                                    .                                       (2)    У формулі (2) бере участь функція Коші

                                                         (3)

          Запровадимо інтегральне перетворення, породжене на множині  диференціальним оператором Ейлера Ba [2]:

                             ,                                (4)

                             ,                                (5)

                                        .                                           (6)

          У рівностях (4), (5) бере участь функцій V(r, b) = r–a r–ib як розв’язок диференціального рівняння Ейлера

                                                (Ba + b2)V = 0,

а риска зверху означає комплексне спряження.

          Застосуємо до задачі (1) оператор Ha за правилом (4). Внаслідок тотожності (6) маємо алгебраїчне рівняння

                                          .

          Звідси одержуємо функцію

                                               .                                                  (7)

          Застосувавши до функції , визначеної формулою (7), оператор  згідно правила (5), одержуємо єдиний розв’язок задачі (1):

                                   u(r) =  =

                          = .                             (8)

          Порівнюючи розв’язки (2) та (8) в силу єдиності, маємо формулу обчислення наступного невласного інтегралу:

                                   (9)

          Оскільки

                   ,

то формула (9) набуває вигляду:

                                     (10)

          При a = 0 маємо:

                                               (11)

          Зауважимо, що в довідковій літературі інтеграли (10), (11) відсутні.

ІІ. Побудуємо на сегменті I1 = {r: r Î (0, R), R < ¥)} полярної осі обмежений розв’язок рівняння Ейлера

                                       (Ba – q2)u(r) = –g(r), q > 0,                                        (12)

за крайовими умовами

                           = 0, .                           (13)

          Наявність системи розв’язків для диференціального рівняння Ейлера (Ba – q2)v = 0 дозволяє будувати розв’язок крайової задачі (12), (13) методом функцій Коші:

                         .                          (14)    У формулі (14) беруть участь головні розв’язки даної крайової задачі:

1) породжена крайовою умовою в точці r = R функція Гріна

                                     Wa(r, q) = ,                                      (15)

2) породжена неоднорідністю рівняння (12) фундаментальна функція крайової задачі

                               (16)

          У рівностях (15), (16) прийняті позначення:

,

,

.

          Побудуємо тепер розв’язок крайової задачі (12), (13) методом інтегрального перетворення Ейлера, породженого на множині I1 диференціальним оператором Ейлера Ba.

          Визначимо функції:

wa, 1(b) = ,

wa, 2(b) = ;

Wa(b) = ([wa,1(b)]2 + [wa,2(b)]2)–1,

Va(r, b) = r–a ([wa,2(b)cos(b ln r) – wa,1(b)sin(b ln r)].

          Згідно з роботою [3] запровадимо пряме Ha та обернене  інтегральне перетворення, породжене на множині I1 оператором Ba:

                             ,                              (17)

                        ,                         (18)

                                 .                                  (19)

          Застосувавши до задачі (12), (13) згідно правила (17) оператор Ha, одержимо в силу тотожності (19) алгебраїчне рівняння

                                    + b RagR.

          Звідси знаходимо функцію

                                    + .                                    (20)

          Застосуємо до функції , визначеної формулою (20), оператор  за правилом (18). Після низки елементарних перетворень одержуємо єдиний розв’язок задачі (12), (13):

                              u(r) =  

                      + .                       (21)

          Порівнюючи розв’язки (14) та (18) в силу єдиності, маємо формули обчислення невласних інтегралів за власними елементами диференціального оператора Ейлера Ba:

                       = ,                       (22)

                           = Ea(r, r, q).                           (23)

          Функція Ea(r, r, q) визначена формулою (16).

          У випадку крайової умови першого роду ( = 0,  = 1) отримуємо такі невласні інтеграли:

                                      ,                                       (24)

              (25)

          Одержані інтеграли (22) – (25) відсутні в довідниковій математичній літературі.

 

1.     Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468 с.

2.     Снеддон И. Перобразования Фурье. – М.: Изд-во иностр. лит., 1955. – 667 с.

3.     Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка, 2004. – 368 с.