Цветков В.Н., Гейда Е.Г., Мищенко Н.В., Алхимова В.М.

Днепропетровский национальный университет

ВОПРОСЫ КАЧЕСТВА ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Пусть случайный процесс задан ансамблем его реализаций . Тогда в общем случае вероятностные характеристики, выражающие некоторые физические свойства исследуемого случайного процесса, определяються с помощью двух операторов

и ,

где - оператор преобразования, лежащий в основе определения характеристики; N - число реализаций, по которым проводиться усреднение; , - соответствующие весовые функции.

На практике в большинстве случаев применяются процедуры определения вероятностных характеристик случайных процессов усреднением одной их реализации и экстраполяции полученных данных на соответствующее множество реализаций исследуемого процесса.

В связи с этим исследуются принципиальные вопросы классической задачи оптимизации параметров обработки случайных процессов (в общем случае нестационарных), которая состоит из оптимизации интервала усреднения при фиксированном виде оператора либооптимизации весовой функции оператора .

В первом способе оптимизации рассмотрена общепринятая модель нестационарного процесса

,

где – стационарный случайный процесс; – действительная временная функция, описывающая закон изменения среднего во времени, медленно по сравнению изменяющая, моделирующая уровень процесса .

При этом установлено, что оптимальная длительность реализации, составляющая

,

где ; , – математическое ожидание и дисперсия процесса ; – ширина спектра частот процесса, обеспечивает минимальную относительную погрешность оценки.

Задача оптимизации является более общей, если используется оператор . В данном случае оптимизируется не интервал , который не выступает здесь в явном виде, а весовая функция . При этом интегральное уравнение для определения оптимальной весовой функции имеет вид

,

где – неслучайная ошибка, обусловленная смещенностью оценки функции оператором ;

– ковариационная функция, имеющая вид

,

причем .

Для возможности получения конечных результатов рассмотрена обработка стационаризируемых случайных процессов, обладающих свойством текущей эргодичности. В теории и на практике статистической обработки экспериментальных данных, полученных в результате наблюдения над стационарными эргодическими случайными процессами часто используется оценки математического ожидания по их реализациям вида

, (1)

представляющие собой линейные функционалы наблюдений , где весовая функция , удовлетворяет условию нормировки

. (2)

Важно, что линейная оценка (1) при любой весовой функции является несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой математического ожидания. Эту оценку можно рассматривать как уравнение гиперплоскости М, натянутой на реализацию процесса и не проходящей через начало координат. Каждой весовой функции соответствует одна из точек гиперплоскости М и погрешность оценок равна расстоянию от начала координат до этой точки. Таким образом имеется минимальная выпуклая оболочка, элементами которой являются , , и все остальные оценки , отличающиеся между собой векторами . Тогда угол между векторами такого вида определяется из их скалярного произведения и характеризует дисперсию оценок . Из этого следует, что оптмальной оценке, имеющей наименьшую дисперсию, соответствует единственная точка, ближайшая к точке О и являющаяся основанием перпендикуляра, опущенного из точки О на гиперплоскость М. Заметим, что при этом все остальные оценки с компонетами оптимальными не являються и их дисперсия определяется отличием угла от . Таким образом оценка (1) будет оптимальной, если она удовлетворяет условию ортогональности

, ,

откуда приходим к интегральному уравнению Винера-Хопфа, решение которого совместно с (2) позволяет определить как искомую оптимальную весовую функцию оценки (1), так и минимальную дисперсию этой оценки.

В классе оптимальных линейных оценок, обладающих минимальной дисперсией, сформулирована и доказана теорема о соотношении дисперсий континуальной и дискретной оценок. Установлено, что в классе оптимальных оценок дисперсия континуальной оценки является нижней границей дисперсии данных оценок, а в классе неоптимальных оценок отношение этих дисперсий может принимать произвольные неотрицательные значения.