УДК 539.3/.8

ОДНО УТОЧНЕНИЕ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ а. Феппля
на продольный изгиб стержней

Бондаренко Л. Н., Яковлев С. А., Васецкий А. Н. (Администрация Госспецтрансслужбы Украины).

Рассмотрим две известные задачи проф. А. Феппля [1], посвященных продольному изгибу стержней.

Первая задача формулируется так. Стержень прямоугольного сечения длиной 1,5 м со сторонами 30 и 50 мм, имеющий свободно вращающиеся концы, сжимается силами , приложенными в точках и (рис. 1, а). Кроме того, в точках и действует еще нагрузка , заставляющая среднюю часть стержня работать на сжатие. Необходимо определить величину критической силы («ломающего груза») для случая, когда и МПа.

Рис. 1. Расчетная схема стержней: а) классическая; б) с учетом реального шарнира

Хотя А. Фепплю была уже известна теория контактных деформаций Герца, однако он принял идеальный шарнир, пренебрегая как изменением геометрии контакта, так и напряжением в месте контакта.

Для учета их влияния рассмотрим шарнир со схемой касания, показанной на рис. 1, б (схема цилиндр–плоскость).

Дифференциальное уравнение упругой лини стержня для ветви I с учетом его реальности

, (1)

где – коэффициент трения качения (рис. 1, б).

Если материалы стержня и плоскости одинаковы, а коэффициент Пуассона их материалов равен 0,3, то связь между радиусом закругления стержня и силой будет иметь следующий вид [2]:

. (2)

величину коэффициента трения качения найдем как часть статической полуширины пятна контакта , равной для данной схемы

. (3)

При первоначальном линейном контакте и величине мм коэффициент трения качения [3]

. (4)

Таким образом, формула (1) принимает вид

. (5)

Решение этого уравнения запишем в виде

. (6)

Отметим, что в решении А. Феппля второй и третий член в правой части уравнения отсутствуют.

Постоянные и найдем, удовлетворив граничным условиям: при , и , которое указывает на перемещение всего стержня (влево) за счет качения.

Подчинив уравнение (6) указанным граничным условиям, получим

; (7)

в уравнениях (6) и (7) .

Прогиб стержня в точке

. (8)

Для ветви II примем за ось линию , а за начало координат точку . На этом участке уравнение упругой линии находится аналогично [1] и приводить решение не будем, записав конечный результат

, (9)

где .

Однако в этой задаче необходимо соблюсти еще одно условие, а именно, что обе ветви должны иметь в точках и общий угол наклона касательной к упругой линии, т. е.

. (10)

Подставляя сюда первые производные от выражений для и , после некоторых преобразований приходим к уравнению

, (11)

которое существенно отличается (во всяком случае, по структуре) от уравнения, полученного про. А. Фепплем. Отметим, что положив и поскольку в этом случае , А. Фепплем для критической силы получена формула Эйлера. В нашем случае

, (12)

что примерно на 5 % меньше значения, полученного Эйлером, .

Перейдя к конкретной задаче, получим, что при и уравнение для принимает вид

. (13)

Вычисление методом последовательных приближений дает, что или

. (14)

Таким образом, от присоединения силы постоянная увеличивается в отношении .

Если принять данные, приведенные в начале статьи, то получим, что Эйлерово значение критической силы составит , а и кН.

Если в решении А. Феппля превышает на 3 %, то в нашем случае эта разница составляет 1,6 раза.

Рассмотрим еще одну задачу, решенную А. Фепплем. Если середину стержня ослабить вырезкой, сделанной в средней части на небольшой длине с моментом инерции 1/4…1/5 от значения основного сечения, то это ослабление оказывает такое же действие, как если бы сечение стержня оставалось бы без ослабления, но длиной . Это явление автор объясняет тем, что части стрежня, непосредственно прилегающие к среднему участку, не могут сразу начать работать полным сечением, а края, граничащие с вырезкой в начале остаются ненапряженными. К такому выводу Феппль пришел после экспериментальных исследований.

Частично поддерживая высказанное им, мы все же считаем, что главной причиной этого явления необходимо считать дополнительный момент, появляющийся в результате качения шарнира (будем полагать) по плоскости.

Рис. 2. Расчетная схема стержня с ослаблением

Составим дифференциальные уравнения прогнутой оси для каждой части стержня. Будем считать координату от конца стержня , а для – от точки сопряжения нижних участков. Уравнения будут иметь вид

(15)

Вводя обозначения

и , (16)

запишем интегралы этих уравнений

(17)

Граничные условия по концам и в точке сопряжения участков

(18)

Из этих условий находим

(19)

Сопоставляя эти уравнения находим, что

(20)

Если правая часть равна нулю, то выражение после тоже должно быть равно нулю, что соответствует идеальному шарниру.

Если в правой части положить , то , откуда получим формулу Эйлера.

Положив в (20) получим

(21)

Расчеты, проведенные по данным первой задачи показывают, что величина критической силы, полученная по формуле (21) и при классическом шарнире в случае, например, м, составляют соответственно (при ) 76 и 97 кН, т. е. отличаются почти на 30 %.

Конечно, нам неизвестно какое опирание концов стержня было в опытах А. Феппля, но очевидно, что причина в расхождениях величины критической силы, полученной расчетом и экспериментально, состоит в неучете моментов, возникающих в шарнирах. Естественно, мы полностью не отвергаем предположение Феппля о неполной напряженности краев большего сечения, но, его значение автором явно превышено.

Таким образом, при определении критической силы рассмотренных стержней необходимо учитывать реальность шарнира, т. е. усилия, возникающие при повороте шарнира.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Феппль А. Техническая механика. В 3-х т. Т. 3. Сопротивление материалов. – М.-Л.: ОНТИ НКТП, 1937. – 332 с.

2. Писаренко Г. С. Справочник по сопротивлению материалов / Г. С. Писаренко, В. В. Матвеев, А. П. Яковлев. – К.: Накова думка, 1988. – 736 с.

3. Бондаренко Л. Н. Экспериментально-аналитическое определение коэффициента трения качения / Зб. наук. праць ХарДАЗТ. Вып. 36. – С. 127-132. Аналітично-експериментальне визначення коефіцієнта тертя кочення // Будівництво України. – 2001, № 5. – С. 47-48.