Математика /4. Прикладная математика/

Рябоштан А. Ф., к.т.н. Миленин А.Н.

Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства

имени П. Василенко

Конструирование поверхностей лопаток газовых турбин из множества линий

Использование множеств линий определённого вида для формирования непрерывного каркаса является, пожалуй, самым распространённым методом конструирования различных поверхностей, в том числе и лопаток газовых турбин.

При этом чаще всего используется множества кривых второго и большего порядков положения связей на параметры множеств выполняется за счёт удовлетворения заданных начальных условий, среди которых основными являются условия непрерывности и касания как минимум первого порядка гладкости.

Вопрос определения дифференциального уравнения множества заданных линий является основным при решении целого ряда задач конструирования поверхностей и обводов лопаток газовых турбин по заданным дифференциальным условиям.

Для заданного множества линий

(1)

дифференцируя (1) по и можно получить дифференциальное уравнение с частными производными I порядка

(2)

или

(3)

Из уравнений (1) и (3) можно исключить два параметра и, если бы , то в результате исключения мы могли бы получить дифференциальное уравнение I порядка, не содержащего параметра .

Если , то для получения уравнений не содержащего параметров, нужно еще раз дифференцировать (3) по и .

(4)

или сокращенно

Указанные операции последовательного дифференцирования продолжаем до тех пор, пока совместно с уравнением (1), (2), (3) … получим () уравнений, из которых исключаем получаем искомое дифференциальное уравнение порядка с частным производными.

Однако получаемое уравнение, хотя и обладает той общностью, что выражает дифференциальные свойства всего множества поверхностей, образованных из линий (1), имеет существенный недостаток : не разработаны ещё единые методы решения произвольных уравнений с частными производными даже второго порядка, не говоря о более высоких.

Конечно, разностные и другие методы приближённого решения уравнений дают вполне удовлетворяемый с точки зрения практики и пригодности в проектирования лопаток газовых турбин результат, но такое решение может оказаться непригодным из-за недостаточного числа свободных параметров или функций для удовлетворения большему числу начальных (граничных) условий.

Кроме того, при конструировании поверхностей лопаток и их обводов по заданным дифференциальным условиям вовсе не обязательно доводить исключение параметров до конца. Наоборот, цель состоит в определении дифференциального уравнения, порядок которого соответствует порядку заданных дифференциальных условий и фиксировании параметров из условия удовлетворения заданным требованиям согласно обобщенному алгоритму дифференциального параметрического метода.

Пусть задано n-параметрическое множество линий

(6)

Поверхность конструируется из множества линий (6) наложением (n-1) связей на параметры а, при помощи начальных условий, в качестве которых выступают :

1. Кривая, с которой линии (6) пересекаются

2. Поверхность, с которой линии (6) имеют касание I или II порядка гладкости

3. Линейная полоса, для которой линии (6) пересекаются с кривой-носителям полосы, а в точках пересечения касаются заданных касательных плоскостей

4. Полоса II порядка.

Рассмотрим эти условия по порядку :

1. Кривая m

, , (7)

Из условия пересечения с кривыми множества при подстановке (7) в (6) позволяет получить два уравнения

, (8)

где общее количество параметров увеличилось на 1 (прибавился ), а общее количество условий уравнений на 2, так что из уравнений (8) можно получить уравнение связи параметров

, (9)

обеспечивающее пересечение кривых множества с кривой m. Для получения поверхности из (6) необходимо иметь таких связей, и следовательно, начальных кривых в виде (7).

2. Пусть в качестве начального условия задана поверхность

(10)

Условия перпендикулярности касательных к линиям (6) и нормалей поверхности (10) дают дифференциальное условие

(11)

где - частные производимые функции

Если из системы уравнений (6),(10),(11) исключить координаты точки касания, получим одно уравнение связи параметров

(12)

Для обеспечения второго порядка гладкости соприкосновения заданной поверхности (10) исключаемой необходимо вычислить частные производные по формулам :

(13)

Подставить их в уравнение (5), общее для множества поверхностей, полученных из линий (6). Совместное рассмотрение (6) и (10) и полученного уравнения после исключения дает уравнение связи параметров

(14)

Уравнение (12) и (14) гарантируют соприкосновение 2 порядка гладкости. Указанное условие равносильно фиксированного двух параметров.

При практической реализации рассмотренных выше вопросов следует учитывать условие непротиворечивости задания начальных условий, накладывающие ограничения на взаимное расположение геометрических элементов.