Математика/ 1. Диференціальні і інтегральні рівняння
К.ф.-м.н. А.І. Казмерчук
Прикарпатський національний
університет імені В.Стефаника
Узагальнено
дводіагональні гіперболічні системи диференціальних рівнянь першого порядку
Розглянемо систему квазілінійних
рівнянь першого порядку, залежних від параметра ,
, (1)
Нехай , причому
можливо лише при
. Також вважаємо, що система (1) гіперболічна та сильно нелінійна
([1]). В подальшому вивчаємо задачу Коші для
системи (1) з початковою умовою
, (2)
де .
Означення
Обмежена вимірна
вектор-функція називається
узагальненим розв’язком задачі (1), (2), якщо система (1) розуміється у сенсі
розподілів, виконується ентропійна умова на характеристиках ([1]), та умова (2)
приймається у слабкому сенсі.
При побудові
автомодельного розв’язку задачі (1), (2) важливим є аналіз наявності
ударних та центрованих хвиль.
Теорема
1 Нехай при матриця
діагональна, система
(1) гіперболічна, а для векторів
існує ударна хвиля
, що з’єднує положення
,
. Тоді існує
таке, що при
система (1)
гіперболічна, сильно нелінійна та існує відповідна ударна хвиля
.
Теорема
2 Нехай при матриця
діагональна, система
(1) гіперболічна, а для векторів
існує центрована
хвиля
, що з’єднує положення
,
. Тоді існує
таке, що при
система (1)
гіперболічна, сильно нелінійна та існує відповідна центрована хвиля
.
З теорем 1,2
випливає наступне твердження.
Теорема
3 Нехай при матриця
діагональна, система
(1) гіперболічна, а для векторів
існує єдиний автомодельний розв’язок
задачі (1), (2) при
Тоді існує таке, що при
система (1)
гіперболічна, сильно нелінійна та існує єдиний відповідний автомодельний розв’язок
.
Методи
доведення теорем 1,2,3 близькі до методики роботи [1].
Література:
1. Lax P.D. Hyperbolic system of conservation laws.-Comm.
Pure Appl.Math.-1957.-V.10.-p.537-566.