Математика/ 1. Диференціальні і інтегральні рівняння

К.ф.-м.н. А.І. Казмерчук

Прикарпатський національний університет імені В.Стефаника

Узагальнено дводіагональні гіперболічні системи диференціальних рівнянь першого порядку

Розглянемо систему квазілінійних рівнянь першого порядку, залежних від параметра ,

, (1)

Нехай , причому можливо лише при . Також вважаємо, що система (1) гіперболічна та сильно нелінійна ([1]). В подальшому вивчаємо задачу Коші для системи (1) з початковою умовою

, (2)

де .

Означення Обмежена вимірна вектор-функція називається узагальненим розв’язком задачі (1), (2), якщо система (1) розуміється у сенсі розподілів, виконується ентропійна умова на характеристиках ([1]), та умова (2) приймається у слабкому сенсі.

При побудові автомодельного розв’язку задачі (1), (2) важливим є аналіз наявності ударних та центрованих хвиль.

Теорема 1 Нехай при матриця діагональна, система (1) гіперболічна, а для векторів існує ударна хвиля , що з’єднує положення , . Тоді існує таке, що при система (1) гіперболічна, сильно нелінійна та існує відповідна ударна хвиля .

Теорема 2 Нехай при матриця діагональна, система (1) гіперболічна, а для векторів існує центрована хвиля , що з’єднує положення , . Тоді існує таке, що при система (1) гіперболічна, сильно нелінійна та існує відповідна центрована хвиля .

З теорем 1,2 випливає наступне твердження.

Теорема 3 Нехай при матриця діагональна, система (1) гіперболічна, а для векторів існує єдиний автомодельний розв’язок задачі (1), (2) при

Тоді існує таке, що при система (1) гіперболічна, сильно нелінійна та існує єдиний відповідний автомодельний розв’язок .

Методи доведення теорем 1,2,3 близькі до методики роботи [1].

Література:

1. Lax P.D. Hyperbolic system of conservation laws.-Comm. Pure Appl.Math.-1957.-V.10.-p.537-566.