Математика/5 Математическое планирование

А.И. Акмолдина

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова

This work about a return problems of the non-stationary filtration approximate method for determining the coefficient of permeability of the layer.

Общий принцип исследования пластов при нестационарном течении заключается в том, что путем изменения работы скважин в пласте искусственно создается нестационарный режим фильтрации и измеряется давление в зависимости от времени в одной или нескольких скважинах. На основе данных от изменении дебитов скважин и от изменения давления в определенных точках пласта могут получены сведения о параметрах пласта – проницаемости, пьезопроводности, о расположении границ пласта и др. [1]

Самым простым и наиболее употребительным способом создания нестационарного течения является остановка одной из скважин. Кривая зависимости давления от времени, при помощи которой проводится исследования пласта, может быть снята либо в самый остановленный скважине, либо в другой – неработающей скважине (пьезометрической). При этом предполагается, что во время исследования дебиты остальных скважин меняются незначительно.

Рассмотрим одномерное осесимметричное (плоско-радиальное) движение при упругом режиме. Распределение давления определяется при этом как решение уравнения теплопроводности в полярных координатах :

(1.1)

удовлетворяющее начальному условию

(1.2)

и граничным условиям при

В приложениях особое значение имеет задача, в которой на скважине задается постоянный дебит. Решение этой задачи используется в наиболее распространенных способах определения параметров пласта по наблюдениям нестационарного притока к скважине. Положим таким образом

или (1.3)

где - радиус скважины и

Предположим, что в цилиндре давление сохраняет постоянные значения, равное (1.4)

Такое условие выполняется, если, например, рассматриваемая область граничит с обширным хорошо проницаемым водопостным пластом.

Считаем, что задана давление в зависимости от времени на скважине. Т.е. (1.5)

Требуется определить коэффициент пьезопроводности

Чтобы получить однородные граничные условия введем новую функцию

Легко проверить, что

(1.6)

Тогда, (1.7)

С другой стороны

и

Подставляя эти величины в (1.1) выводим

Отсюда получается уравнение теплопроводности относительно функций :

(1.8)

где . Если на скважине постоянный дебит, то

В новых условиях (1.5) записывается в виде

(1.9)

Литература

1. Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. – Издательство Нейра, 1992