Математика/5 Математическое планирование

Байманкулов А.Т.

Костанайский государственный университет им.А.Байтурсынова

АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ

1. Постановка задачи

В области изучается распространение влаги в ненасыщенной зоне. Математическая модель одномерной задачи описывается дифференциальным уравнением

. (1)

Начальные и граничные условия задаются в виде соотношений

, (2)

, (3)

. (4)

Для неустановившихся процессов движения воды используется численное решение задачи (1)-(4) методом конечных разностей .

Поскольку процесс нахождения решения является итерационным, то вопрос доказательства сходимости его становится обязательным. Для того чтобы доказать сходимость итерационного процесса нам потребуются априорные оценки решения задачи.

Умножим (1) на и проинтегрируем по от 0 до , по от 0 до произвольного . Тогда, учитывая граничные условия (3) и (4), получим

Далее, применяя неравенство Коши, получим

(5)

Из тождества

следует оценка

.

Подставляя в (5) получим, что

.

Пусть , тогда

,

где

.

Применяя лемму Гронуолла, получим

. (6)

Полученный результат оформим в виде леммы 1.

Лемма 1. Если то для решения прямой задачи имеют место оценки

.

Литература

1. Нерпин С.В., Юзефович Г.И. О расчете нестационарного движения влаги в почве. // Докл. ВАСХНИЛ, №6, 1966.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1996, 724 с.

3. Рысбайулы Б. Идентификация коэффициента теплопроводности распространения тепла в неоднородной среде // Вестник КБТУ, 2008, №1, ст. 62-65

4. Байманкулов А.Т. Определение коэффициента диффузии почвенной воды в однородной среде.// Известия НАН РК, 2008, № 3, с.45-47.