Математика/5 Математическое планирование

Байманкулов А.Т.

Костанайский государственный университет им.А.Байтурсынова

ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ

1. Постановка задачи

В области изучается распространение влаги в ненасыщенной зоне. Математическая модель одномерной задачи описывается дифференциальным уравнением:

. (1)

В начальный момент распределения влаги задается начальное условие. То есть,

. (2)

На границе поверхности почвы и атмосферы задается граничное условие второго рода

. (3)

На границе поверхности грунтовых вод с почвой задается первое граничное условие

. (4)

Аналитическое решение задачи(1)-(4) можно получить только для упрощенных условий динамического равновесия. Для других процессов движения воды используется численное решение итерационными методами.

Для доказательства сходимости решения задачи нам потребуются лемма.

Лемма . Если то для решения прямой задачи имеет место оценка

Дифференцируем (1) по t:

.

Умножим обе части знака равенства на и интегрируем по и по t в области , т.е.

.

Применяя неравенство Коши, выводим, что

.

Из тождества

следует неравенство

.

Усиливаем предыдущее неравенство

.

Применяя лемму Гронуолла, выводим что

.

Лемма доказана.

Литература

1. Нерпин С.В., Юзефович Г.И. О расчете нестационарного движения влаги в почве. // Докл. ВАСХНИЛ, №6, 1966.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1996, 724 с.

3. Рысбайулы Б. Идентификация коэффициента теплопроводности распространения тепла в неоднородной среде // Вестник КБТУ, 2008, №1, ст. 62-65

4. Байманкулов А.Т. Определение коэффициента диффузии почвенной воды в однородной среде.// Известия НАН РК, 2008, № 3, с.45-47.