Педагогические науки/ 5.Современные методы преподавания
Айдос Е.Ж.
Казахский технический университет имени
К.И.Сатпаева, г.Алматы
Недифференцируемые
функции, представляющие
гладкую кривую
Введение
Основные понятия математического
анализа – предел и производная функции в точке, обычно определяются так, что их
значениями могут быть только действительные числа. Но иногда, при решении некоторых математических вопросов, мы встречаем
применение предела или производной функции с
бесконечными «значениями»: (см. напр.,
). Вообще, несмотря на невыполнения некоторых
арифметических действии над бесконечными числами, их правильное и умелое применение, по
нашему, позволит решить более широкий круг теоретических и практических задач математики или могут служить для упрощения сложных
математических выкладок. Например, в
с помощью производной с бесконечными значениями
расширен класс функции, для которых применяются так называемые теоремы
о среднем; в теории функции комплексных
переменных - сумму конечного числа
некоторых интегралов удобно вычислять с помощью одного вычета функции в бесконечной
точке (теорема о вычетах) и т.д.
Мы, в
этой статье, определяем непрерывность функции в несколько ином виде, чем в
обычном, точнее говоря, определяем ее аналогично определению
производной в широком смысле, как в и покажем ее роль в
решении некоторых вопросов математического анализа. В
курсе математического анализа, для изучения
вопросов, относящихся к теории гладкой кривой применяются, в основном, непрерывно дифференцируемые функции, представляющие гладкую кривую. Для примера приведем известное определение гладкой кривой.
Определение-1. Кривая заданная
параметрическими уравнениями
называется гладкой на
если
- непрерывные функции, имеющие непрерывные производные на отрезке
одновременно не равные нулю.
Определение-1 можно
применить лишь для кривых, представленных
дифференцируемыми на
рассматриваемом промежутке функциями, а для кривых, представленных функциями с
бесконечными производными, оно непригодно. Но одна и та же кривая
может представляться дифференцируемыми, также и недифференцируемыми
отображениями. Примерами последней
категории гладких кривых могут быть:
дуга окружности кубическая парабола
или любая кривая,
представленная в виде
и т.д.
По определению-1, такие кривые не относятся к гладким, ибо функции,
представляющие их, в указанных промежутках не дифференцируемы.
Для
установления гладкости этих, вообще для любой кривой можно воспользоваться следующем определеним (см. [2] §6.5,
там оно приведено в общем виде).
Определение-2.
Кривая называется гладкой на
если ее можно задать
при помощи уравнении
где
- непрерывные функции, имеющие непрерывные производные на
отрезке
одновременно не равные
нулю.
Например, если рассмотренную выше дугу
окружности параметризовать в виде:
то функции
удовлетворят условиям
определения-2, следовательно по определению-2, дуга окружности – гладкая; а кубическую параболу
можно представить в
виде
где для функции
выполняются все
условия определения-2, так что кривая
также гладкая.
Мы видим, что хотя кривая
первоначально задана недифференцируемыми функциями, но если сможем найти ее
подходящие параметрические уравнения с составляющими функциями, удовлетворящими условиям определения-2, то она гладкая.
Вот этот процесс параметризации кривой с подходящими свойствами функции и является
недостатком определения-2. Так как способ параметризации одной и той же кривой,
не единственный (например, дуга окружности может быть
представлена еще и в виде
и т.д.), то такой подход установления гладкости кривой, явно не рациональный.
Ниже мы
займемся, в основном,
решением отмеченных выше проблем двух определении, укажем характеристику функции по которой можно установить гладкость кривой
не переходя к другим
параметрическим уравнениям. Такая
характеристика позволить также судить о гладкости кривой
по гладкости функции
.
1. Основные понятия и терминологии
Считаем,
что для бесконечностей имеет место соотношения порядка:
т.е. бесконечности
одного знака равны, а бесконечности
разных знаков не равны. Но для бесконечностей
без определенных знаков соотношение порядка не распространяется, т.е. выражение
или
не имеет смысла.
В случае, когда как обычно будем говорить, что «функция
в точке
имеет предел», а в
случае
она имеет «конечный
предел». Например, функция
имеет
предел в точке
равный
а у функции
в этой точке
предела нет, т.к.
. Аналогично,
если имеет место равенство где
то «функция
в точке
имеет производную», а в
случае
она имеет конечную
производную.
Про функцию где
будем говорить, что «функция
определена в
точке
в
широком смысле». «Функция, определенная
в широком смысле в промежутке
» в точках этого
промежутка может иметь либо конечное значение
либо бесконечное:
или
Например, функция
определена в интервале
в широком смысле, а
не определена в точке
Определение (непрерывности в широком смысле). Пусть функция определена в широком смысле в точке
и в некоторой ее
окрестности. Тогда, если в точке
у нее существует предел и выполнено равенство
то функция
называется непрерывной в
широком смысле в этой точке.
Функция непрерывна в точке
в широком смысле, ибо
Теперь рассмотрим применение
непрерывности функции в широком смысле
в решении некоторых вопросов математики.
2. Гладкая кривая и
гладкая в широком смысле функция
«Функция,
непрерывная в широком смысле в промежутке»
- означает, что в точках этого промежутка функция может быть
непрерывной или непрерывной в широком смысле.
По нашему, определение гладкой кривой должно формулироваться на языке производной, непрерывной в
широком смысле.
Определение–2.1. Кривая заданная параметрическими
уравнениями
называется гладкой на
если
- непрерывные функции, имеющие непрерывные в широком смысле производные
на отрезке
одновременно
не равные нулю.
Определение-2.1 применимо для кривых, представленных
дифференцируемыми на рассматриваемом промежутке функциями, а также и для кривых, представленных
функциями с бесконечными производными.
Аналогическими
преимуществами обладает и следующее определение
гладкой кривой, заданной явной функцией.
Определение-2.2. Непрерывная кривая называется гладкой,
если функция
имеет на отрезке
непрерывную в широком смысле
производную.
Например, по определению-2.2,
рассмотренная выше кривая гладкая на любом
отрезке, так как производная функции
непрерывна в
широком смысле в любой точке.
Далее, для функции введем понятие ее
угловой функции с помощью
равенства
(1)
где непрерывная и монотонная в промежутке функция
установливает взаимооднозначное
соответствие между расширенным множеством значении производной функций
и множеством значении угловой функции
так что из
существования производной в точке
вытекает
существование угловой функции в этой точке, и наоборот. Аналогичное
утверждение справедливо также для
непрерывной в широком
смысле производной
и непрерывной (в
обычном смысле) угловой
функции
ибо имеет место
равенство
т.е.
Поэтому определение-2.2
будет
равносильно следующему определению, сформулированному
на языке угловой функции.
Определение-2.3 (на
языке угловой функции). Непрерывная кривая
называется гладкой,
если
имеет непрерывную угловую функцию на
Например, рассмотренная
выше криваягладкая
и по определению-2.3. Действительно, для
определена угловая функция, равная
и она непрерывна в
любой точке. Справедливость последнего
утверждения достаточно показать лишь в точке
а для остальных точек непрерывность угловой
функции следует из известного свойства элементарных функций. Имеем,
т.е. функция
непрерывна и в точке
Пример-1. Для функции определена угловая
функция, равная
но она не является непрерывной в точке
(функция
в точке
не имеет предела), и потому кривая, заданная с
помощью функции
не гладкая на
отрезке, содержащем точку
Так как геометрически, является углом
наклона касательной к графику функции
в точке с абсциссой x (касательная
- направленная прямая), то из существования
следует существования
касательной в точке с абсциссой x, и обратно. Поэтому используя равенство
(1) можно утверждать, что:
если функция имеет в точке
производную, то
существует касательная к ее графику в точке
с угловым
коэффициентом
и обратно, если существует касательная в точке
графика функции
f, то функция
имеет в точке
производную. Другими словами, для
функции f между
множеством ее производных и множеством касательных к ее графику можно
установить взаимооднозначное соответствие.
Аналогичное утверждение для
конечной производной – не верно!
Таким образом, для функции f три понятия: «угловая функция»,
«производная» и «касательная» - равносильны, в смысле их существования, т.е. из
существования в точке x одного из них, следует существования двух других.
Пример-2. Для функции на отрезке, содержащем точку
не существует
угловая функция. Действительно,
Следовательно, у этой
функции в точке не существует ни
производная, ни касательная.
Пусть для функции f в точке и ее некоторой
окрестности определена угловая функция
Тогда, касательная в точке
графика
функции f называется непрерывной в точке
если непрерывна
угловая функция
в этой точке. Касательная графика функции f непрерывна в промежутке
если существует
непрерывная касательная графика в каждой точке
Определение-2.4
(на языке касательной). Непрерывная кривая называется гладкой, если существует непрерывная на
отрезке
касательная
кривой
Введем понятие гладкой
в широком смысле функции.
Определение-2.5. Функция f называется
гладкой в широком смысле на
отрезке , если она имеет непрерывную
в широком смысле производную на этом отрезке.
Определение-2.6. Непрерывная кривая называется гладкой,
если функция
на отрезке
гладкая в широком смысле.
Мы думаем, что понятие непрерывной в широком смысле функции, использованное
как инструмент для решения некоторых теоретических проблем математики, может
быть также полезным инструментом и в других областях естественных наук по
вопросам теоретических и прикладных задач. Поэтому понятия предела,
производной, непрерывности функции, определения понятия гладкой кривой и другие
вопросы, расмотренные в статье, имели отражения в книге предназначенной для
технических вузов.
Литература:
1.
Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа, т.1, «Высшая школа», 1981.
2.
С.М.Никольский. Курс математического анализа, т.1, «Наука», 1983.
3.
Е.Ж.Айдос. Жоғары математика-2, «Бастау», Алматы 2010.